探讨fibonaci 数列与黄金分割

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1、探讨Fibonacci数列与黄金分割众所周知黄金分割，然而却很少有人听说Fibonacci数列。Fibonacci数列又叫斐波那契数列，其发明者是意大利数学家列昂纳多·斐波那契。该数列衍生于《珠算原理》中的一道题目：某人把一对兔子放入一个四面被高墙围住的地方。假设每对兔子每月能生下一对小兔，而每对新生小兔从第二个月开始又具备生育能力，请问：一年后应有多少对兔子？（假定兔子没有死）显而易见，一个月后将有2对兔子，两个月后将有3对兔子，三个月后将有5对兔子，四个月后将有8对兔子，以此类推，第n个月的兔子对数将是第n

2、-1个月兔子对数与第n-2个月兔子对数之和，层层递推。然而大家所熟知的黄金分割，由，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。他认为所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比。即a+b=L（a>b）,有b/a=a/L≈0.618=(√5-1)/2，这就是黄金分割率，然而更精妙的是其倒数是1.618，刚好与其相差1。黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，在艺术史上，几乎所有的杰出作品都不谋而合地验证了这一著名的

3、黄金分割律。从表面上看Fibonacci数列与黄金分割貌似没有密切的关系。其实不然，当我们将Fibonacci数列从第二项起后一项比前一项，将得到1/2,2/3,3/5，5/8……….即F(n-1)/F(n)，当n趋近于无穷大时，F(n-1)/F(n)=0.168.证明：对于数列F（n）存在F（n）=F（n-1）+F（n-2），因此F(n)/F(n-1)=1+F(n-2)/F(n-1)=C(n),显然在n无穷大时，C(n)=C(n-1)，即F(n)/F(n-1)=F(n-1)/F(n-2),令，那么，将有x=1+

4、1/x得到：，F(n-1)/F(n)=2/(√5+1)=0.618其实仔细观察一下，将会发现两者还是有关联的。我们假设黄金分割中的线段b是数列中的F（n），a是数列中的F（n+1），则两者相加所得的L就是F（n+2）。因此b/a=a/L=F（n）/F（n+1）=F（n+1）/F（n+2）类似于Fibonacci数列中的前一项比上后一项因此当n趋近于无穷大时，F（n-1）/F（n）=黄金分割率。应当注意此时成立的条件是n趋近于无穷大，因为只有n趋近于无穷大，F（n-1）/F（n）与F（n）/F（n+1）才相等。由此

5、可见Fibonacci数列与黄金分割有天然的联系。如斐波那契螺旋就是最直接的例子。如果顺逆时针螺旋的数目是斐波那契数列中相邻的2项，可称其为斐波那契螺旋，也被称作黄金螺旋。这样的螺旋能最佳利用圆周，疏密最为均匀。它的构造方法也不难，只需先用同样是与斐波那契数列有关的数构造黄金矩型（长宽之比为黄金分割），再在每个矩形中各描绘出一条1/4圆弧，让各段弧彼此连接。这样的黄金矩形也往往能一些艺术名作中找到，如达·芬奇著名的作品《蒙娜·丽莎》。计算机绘制的斐波那契螺旋斐波那契螺旋与黄金矩型