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1、高等数学研究Vol.8,No.128STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICSJan.,2005*斐波那契数列与黄金分割数12闫萍王见勇(1常熟市中学数学组江苏常熟215500;2常熟高等专科学校数学系江苏常熟215500;)摘要对任何固定步长k(1),斐波那契数列中相距k项的元形成的子列的前后项之比形成的数列收敛,其极限仅与步长k有关。关键词斐波那契数列黄金分割数极限中图分类号O178[1]斐波那契数列{fn}0在分析方面,一个非常优美的结果是:fn命题F-数
2、列{fn}0的相邻两项之比形成的数列收敛于黄金分割数,即fn+1n=0fn5-1lim===06180339887499nfn+12命题揭示了F-数列与黄金分割数的奇妙关系。本文将上述命题推广为:定理对任何固定步长k(1),不管从何项开始,斐波那契数列中相距k项的元形成的k个子列fm+nkn=0(m0=0,1,2,,k-1)的0fm+nk前项与后项之比形成的数列0收敛于仅与步长k有关,fm+(n+1)kn=00(k)而与起始元fm0无关的同一极限。2(n)n由+=1得对任意的nN有=。定理更进一步揭示了F-数列与黄金分割数之间的奇妙关
3、系。由定理立即可得:(n)推论极限数列0构成另一个递归数列:(0)(1)(n)(n-2)(n-1)=1,=,=-,(n=2,3,)。图1斐波那契正方形(n)n-15+1(n)而且满足===2,或=1。n=1n=1n=2(n)nn我们称极限数列0=0为斐波那契伴随数列。上图指出了伴随数列0的项分(n)布及=1的几何解释,称之为斐波那契正方形。为了证明定理,先给出几个必要的引理:n=2[1]引理1对任何自然数k,nN有2n22222fnfn+2k-fn+k=(-)fk-1或f2nf2n+2k-f2n+k=fk-1
4、,f2n+1f2n+1+2k-f2n+1+k=-fk-1。引理2对满足n2与Ikn-1的自然数对n与k,均有fn=fkfn-k+fk-1fn+(k+1);对k任何自然数k,nN,恒有fn=(-1)(fkfn+k-fk-1fn+(k+1))。证明设n2是任一给定的自然数,当k=1时,由F-数列的递归定义可知以上两式成立。假设对任何不大于k(n-2)的自然数以上两式已证,则由假设可知fn=fkfn-k+fk-1fn-(k+1)=fk(fn-k-1+fn-k-2)+fk-1fn-(k+1)=fk+1fn-(k+1)+f(k+1)-1fn-(k+1+1),*收稿日期:
5、02-10-28第8卷第1期闫萍,王见勇:斐波那契数列与黄金分割数29即第一个等式对k+1仍成立,由归纳法原理可知该等式对任何满足关系n2与1kn-1的自然数对都成立。同样由于kkfn=(-1)(fkfn+k-fk-1fn+(k+1))=(-1)[(fk+1-fk-1)fn+k-fk-1fn+(k+1)]kk=(-1)(fk+1fn+k-fk-1fn+k+2)=(-1)[fk+1fn+k-(fk+1-fk)fn+k+2]kk+1=(-1)(-fk+1fn+k+1+fkfn+k+2))=(-1)(fk+1fn+(k-1))-f(k+1)-1
6、fn+(k+1)+1],第二个等式对自然数k+1也成立,引理2得证。k-1引理3对任何自然数m0,n与k2,均有fm+(n+1)k=(fk+fk-2)fm+nk+(-1)fm+(n-1)k。000证明由引理2可知kfm+nk+k=fkfm+nk+fk-1fm+nk-1,(-1)fm+nk-k=-fk-1fm+nk-1+fk-2fm+nk。000000两式相加便得知引理3结论成立。引理2,3,给出了F-数列的广义递归定义。2222引理4对任何自然数nN,有(f2n+f2n-2)-4=5f2n-1,(f2n+1+f2n-1)+4=5f2n。22证明由引理1可知对任
7、一个nN均有f2nf2n-2=f2n-1+1与f2n-1f2n+1=f2n-1。于是222222(f2n+f2n-2)-4=(f2n-1+2f2n-2)-4=f2n-1+4f2n-2+4f2n-1f2n-2-4=f2n-1+4f2n-2f2n-4=5f2n-1,222222(f2n+1+f2n-1)+4=(f2n+2f2n-1)+4=f2n+4f2n-1+4f2nf2n-1+4=f2n+4f2n-1f2n+1+4=5f2n。fm+nk0定理的证明设an(m0k)=,则由引理1可知fm+(n+1)k0
