斐波那契数列斐波那契课件.ppt

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1、极限存在准则及其应用数理系苑静第一章二、极限存在准则的应用一、极限存在准则极限存在准则及其应用内容回顾：数列的定义：自变量取正整数的函数称为数列，记作或称为通项。数列极限的定义：无限增大时，数列无限趋近于则称该数列以如果为极限。常数单调有界数列必有极限一、极限存在准则二、极限存在准则的应用例1已知数列证明此数列极限存在。证：显然单调递增，且其中——自然对数之底此数列极限必然存在。斐波那契数列斐波那契（11701250）意大利商人兼数学家他在著作《算盘书》中，首先引入阿拉伯数字，將「十进位值记数法」介绍给欧洲人认识，对欧洲的数学发展有深远的影响。问题提出在120

2、2年，斐波那契在他的著作中，提出以下的一个问题：假设一对初生兔子要一个月才到成熟期，而一对成熟兔子每月会生一对兔子，那么，由一对初生兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？解答1月1对解答1月1对2月1对解答1月1对2月1对3月2对解答1月1对2月1对3月2对4月3对解答1月1对2月1对3月2对4月3对5月5对斐波那契数列令依次写出数列，就是这就是斐波那契数列，其中的任一个数，都叫做斐波那契数。用表示第个月的兔子的对数，则有如下递推公式与斐波那契数列密切相关的一个重要极限是或者下面我们先来说明式的含义并证明（至于式的含义见本例稍后的说明。）记则就是第月相对于第月的

3、兔子对数增长率若存在，则表示许多年后兔子对数的月增长率。并求此极限。证：其中例2证明数列用数学归纳法容易证明：数列是单调减少的。是单调增加的；数列又对一切成立，是有界的。即数列的极限存在，根据“单调有界数列必有极限”的准则，的极限存在，与分别记作知数列即分别对与的两边取极限，得与整理，得与两式相减，得即因此存在，记作即对两边取极限，得解此方程，得因为即从而如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果黄金分割（GoldenSection）那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比。ACB那么，黄金分割与斐波那契数列有何

4、关系呢？原来，黄金分割点的位置恰好是数列当时的极限见（1）式。黄金分割在建筑、文艺、工农业生产和科学实验中有着广泛而重要的应用。图中主叶脉与叶柄和主叶脉的长度之和比约为0.618叶子中的黄金分割建筑中的神秘数字文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异。高（137米）与底边长（227米）之比为0.629,但这些金字塔底面的边长与高之比都接近于0.618.绘画艺术中的黄金分割蒙娜丽莎的头和两肩在整幅画面中都处于完美的体现了黄金分割，使得这幅油画看起来是那么的和谐和完美.大自然中的斐波那契数列花瓣的数目海棠（2）钱兰（3）大自然中的斐波那契数列花瓣的数目洋紫荊（5）黃

5、蝉（5）蝴蝶兰（5）大自然中的斐波那契数列花瓣的数目雏菊（13）雏菊（13）斐波那契数列与音乐3253斐波那契数列与音乐85内容小结1.数列极限的存在准则2.单调有界准则的应用3.斐波那契数列和黄金分割单调有界准则作业P301,3(2),4P564(1),(3)4(3)提示:可用数学归纳法证谢谢大家