斐波那契数列与黄金分割

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1、第三节斐波那契数列与黄金分割1我们先来做一个游戏！2十秒钟加数请用十秒，计算出左边一列数的和。1235813213455+89??时间到！答案是231。3十秒钟加数再来一次！3455891442333776109871597+2584????时间到！答案是6710。4这与“斐波那契数列”有关若一个数列，前两项等于1，而从第三项起，每一项是其前两项之和，则称该数列为斐波那契数列。即：1,1,2,3,5,8,13,……5一、兔子问题和斐波那契数列1．兔子问题1）问题——取自意大利数学家斐波那契的《算盘书》（1202

2、年）(L.Fibonacci,1170-1250）6兔子问题假设一对初生兔子要一个月才到成熟期，而一对成熟兔子每月会生一对兔子，那么，由一对初生兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？7解答1月1对8解答1月1对2月1对9解答1月1对2月1对3月2对10解答1月1对2月1对3月2对4月3对11解答1月1对2月1对3月2对4月3对5月5对12解答1月1对2月1对3月2对4月3对5月5对6月8对13解答1月1对2月1对3月2对4月3对5月5对6月8对7月13对14解答可以将结果以列表形式给出：1月2月3月5月4月6月7月8月9月11月10月12月112

3、3581321345589144因此，斐波那契问题的答案是144对。以上数列，即“斐波那契数列”15兔子问题的另外一种提法：第一个月是一对大兔子，类似繁殖；到第十二个月时，共有多少对兔子？月份ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫ大兔对数1123581321345589144小兔对数01123581321345589到十二月时有大兔子144对，小兔子89对，共有兔子144+89=233对。规律162．斐波那契数列1）公式用表示第个月大兔子的对数，则有二阶递推公式172）斐波那契数列令n=1,2,3,…依次写出数列，就是1，1，2，3，5，8，13，21，34，

4、55，89，144，233，377，…这就是斐波那契数列。其中的任一个数，都叫斐波那契数。18[思]：请构造一个3阶递推公式。19二、相关的问题斐波那契数列是从兔子问题中抽象出来的，如果它在其它方面没有应用，它就不会有强大的生命力。发人深省的是，斐波那契数列确实在许多问题中出现。201．跳格游戏21如图，一个人站在“梯子格”的起点处向上跳，从格外只能进入第1格，从格中，每次可向上跳一格或两格，问：可以用多少种方法，跳到第n格？解：设跳到第n格的方法有种。由于他跳入第1格，只有一种方法；跳入第2格，必须先跳入第1格，所以也只有一种方法，从而22而能

5、一次跳入第n格的，只有第和第两格，因此，跳入第格的方法数，是跳入第格的方法数，加上跳入第格的方法数之和。即。综合得递推公式容易算出，跳格数列就是斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…232．连分数这不是一个普通的分数，而是一个分母上有无穷多个“1”的繁分数，我们通常称这样的分数为“连分数”。24上述连分数可以看作是中，把的表达式反复代入等号右端得到的；例如，第一次代入得到的是反复迭代，就得到上述连分数。25上述这一全部由1构成的连分数，是最简单的一个连分数。26通常，求连分数的值，如同求无理数的值一样，我们常常需要求它的近似值

6、。如果把该连分数从第条分数线截住，即把第条分数线上、下的部分都删去，就得到该连分数的第次近似值，记作。27对照可算得28发现规律后可以改一种方法算，例如顺序排起来，这个连分数的近似值逐次为293．黄金矩形1）定义：一个矩形，如果从中裁去一个最大的正方形，剩下的矩形的宽与长之比，与原矩形的一样（即剩下的矩形与原矩形相似），则称具有这种宽与长之比的矩形为黄金矩形。黄金矩形可以用上述方法无限地分割下去。30312）试求黄金矩形的宽与长之比（也称为黄金比）解：设黄金比为，则有将变形为，解得，其正根为。323）与斐波那契数列的联系为讨论黄金矩形与斐波那契数

7、列的联系，我们把黄金比化为连分数，去求黄金比的近似值。化连分数时，沿用刚才“迭代”的思路：33反复迭代，得34它竟然与我们在上段中研究的连分数一样！因此，黄金比的近似值写成分数表达的数列，也是，其分子、分母都由斐波那契数列构成。并且，这一数列的极限就是黄金比。35三、黄金分割1．定义：把任一线段分割成两段，使，这样的分割叫黄金分割，这样的比值叫黄金比。（可以有两个分割点）1小段大段362．求黄金比解：设黄金比为，不妨设全段长为1，则大段=，小段=。故有，解得，其正根为AB小段大段373．黄金分割的尺规作图设线段为。作，且，连。作交于，再作交于，则

8、，即为的黄金分割点。38证：不妨令，则，，，证完。394.黄金分割的美黄金分割之所以称为“黄金”分割，是比喻这一“分割”如黄金一样珍贵。