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《数学分析上册练习题及答案第四》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一元函数的连续性第四章函数的连续性1连续性概念1.按定义证明下列函数在其定义域内连续:(1);(2).证明(1)的定义域是且,取,由函数极限四则运算可知,所以在连续.由在定义域内的任意性知在其定义域内连续.(2)的定义域是,任取,由于,所以对任给的,取,使得当时有.按函数在一点连续的定义,在连续,由在中的任意性知在定义域内连续.2.指出下列函数的间断点并说明其类型:(1);(2);(3);(4);(5);(6)(7)解(1)因仅在处无定义,故为函数的间断点,又因,,所以为第二类间断点.(2)因仅在处无定义,故为函数的间断点,又因所以是的第一类
2、间断点,且为跳跃间断点.(3)由于而,所以为该函数的可去间断点.(4)由于故,而,所以为函数的可去间断点.(5)由于故所以皆为函数的跳跃间断点.(6)当时,由于存在有理数列和无理数列使得:且;且,故而且据函数极限的归结原则,不存在,同理也不存在,所以的点皆为函数的第二类间断点.(7)因为所以为函数的第二类间断点.因为即所以为函数的跳跃间断点.综上,是该函数的第二类间断点,是该函数的跳跃间断点.1.延拓下列函数,使其在上连续:(1);(2);(3).分析:如果函数在上无定义的点皆为可去间断点,那么只需在每个无定义的点处补充定义,就可以使的定义扩
3、大到上且处处连续.解(1)在时无定义,而,故为的可去间断点,令则为在上的延拓,且在上连续.(2)在时无定义,而,所以为该函数的可去间断点.令则为在上的延拓,且在上连续.(3)在时无定义,而,所以为该函数的可去间断点.令则为在上的延拓.1.证明:若在点连续,则与也在点连续.又问:若或在上连续,那么在上是否必连续?分析将和与的不等式关系找出,从而利用极限定义求证其连续,即运用极限理论讨论可得结论.证明(1)因为在点连续,所以,则根据极限的定义,对任给的,存在,使得当时有.又因所以当时也有.所以,即可知在点连续.(2)因在连续,即,所以由函数极限的
4、局部有界性知,存在,使得当时,有.取,当时,有.所以在连续.但是,当或在上连续时,在上不一定连续.例如则,为常数1,故处处连续,但却处处不连续.1.设当时,,而.证明:与两者中至多有一个在连续.证明:反证法假设和都在连续,即,,又因时,,所以,从而有,这与题设相矛盾.因此假设错误.与两者中至多有一个在连续.2.设为区间上的单调函数.证明:若为的间断点,则必是的第一类间断点.证明:设在上递增,当且不是的端点时,必存在的某邻域,因在内递增且以为上界,在内递增且以为下界,据函数极限的单调有界原理知与都存在,从而是的第一类间断点.当且为的左(右)端点
5、时,在处的右(左)极限存在,所以仍为第一类间断点.3.设函数只有可去间断点,定义.证明为连续函数.证明:设的定义域为,则对任意的,因为,所以对任意的,存在,当时,有.对任意的,因为,所以对同一,存在,使,且对任意的时,有.从而有.从而得,所以在点处连续.由的任意性知,在上连续.4.设为上的单调函数,定义.证明在上每一点都右连续.证明:假定为上的单调函数.对任意的,因存在,即,所以对任意的,存在,当时,有.取使,有.又由在上的单调增加性有,即有.由此可知,对一切有.因此点是的右连续点,再由在上的任意性,推得为上的右连续函数.1.举出定义在上分别
6、符合下述要求的函数:(1)只在和三点不连续的函数;(2)只在和三点连续的函数;(3)只在上间断的函数;(4)只在右连续,而在其它点都不连续的函数.解(1)(2)(3)(4)2连续函数的性质1.讨论复合函数与的连续性,设(1);(2)解(1)由于,故,所以在所有点上都连续.又且,所以为的可去间断点,其余点均为的连续点.(2)由于,且所以在处有跳跃间断点,在其它点连续.又,所以处处连续.2.设在点连续,证明:(1)若,则存在,使在其内有;(2)若在某内有,则.证明(1)令,则,又因为在点连续,由定理4.4知在点连续.由连续函数的局部保号性,对任何
7、正数,存在某,使得对一切,有,即存在,使得对一切,有,即.(3)由在点连续可知,有,,又因为在内有,则有极限保号不等式性有.1.设在区间上连续.记.证明和也都在上连续.证明:法一利用第一章总练习题1的结论.因在上连续,而,是由经过加,减,乘运算及其幂函数的复合运算所得,故也在上连续.法二利用和的性质,由的连续性推出和的连续性.对区间上任意一点,在点连续,则对任给,存在正数,使得当时,有,当时,有.取,则有,同时成立.从而有且.即.又有且,即.综合以上得.由的任意性得.即同理可证2.设为上连续函数,常数.记证明在上连续.证明:令,因常数,都在上
8、连续,所以由3题结论知在上连续,又因也在上连续,再由3题结论知在上连续,即在上连续.3.设证明复合函数在连续,但在不连续.证明:因所以,.又,故在连续,但是,,因,
