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1、统计专业和数学专业数学分练习题计算题1.试求极限2.试求极限3.试求极限4.试讨论5.试求极限6.,有连续的偏导数，求7.求8.求抛物面在点处的切平面方程与法线方程.9.求在处的泰勒公式.10.求函数的极值.11.叙述隐函数的定义.12.叙述隐函数存在唯一性定理的内容.13.叙述隐函数可微性定理的内容.14.利用隐函数说明反函数的存在性及其导数.15.讨论笛卡儿叶形线所确定的隐函数的一阶与二阶导数.16.讨论方程在原点附近所确定的二元隐函数及其偏导数.17.设函数,方程.(1)验证在点附近由上面的方程能确定可微
2、的隐函数和;(2)试求和,以及它们在点处的值.18.讨论方程组22在点近旁能确定怎样的隐函数组，并求其偏导数。19.设方程组问在什么条件下,(1)由方程组可以唯一确定是的可微函数?(2)由方程组可以唯一确定是的可微函数?20.求球面与锥面所截出的曲线的点处的切线与法平面方程。21.求曲面在点处的切平面与法线方程.22.抛物面被平面截成一个椭圆.求这个椭圆到原点的最长与最短距离.23.叙述含参量的正常积分定义.24.叙述含参量的正常积分的连续性定理的内容.25.叙述含参量的无穷限反常积分定义.26.叙述含参量的无
3、穷限反常积分的一致收敛性定义.27.叙述含参量的无穷限反常积分的一致收敛的柯西收敛准则.28.叙述含参量反常积分一致收敛的狄利克雷判别法.29.叙述含参量反常积分一致收敛的阿贝尔判别法.30.叙述含参量反常积分的可积性定理内容.31.求32.计算积分.33.计算并由此计算34.利用公式,计算22.35.利用可微性计算关于参数的含参量反常积分.并由此计算36.计算，其中L为单位圆周.37.计算，其中L为从(0,0,0)到(1,2,3)的直线段.38.求积分,其中曲线与轴围成的面积为.39.求,其中.40.求全微分
4、的原函数.41.求其中由围成.42.求,其中由,所围成的有界闭区域.43.求与所围成区域的面积.44.求,其中是.45.求,其中由所围成的有界闭区域.46.求,其中.47.求,S是,取球面的外侧为正侧.48.设具有连续导数,求.其中为所围立体的表面的外侧.2249.求,其中是的表面,取外侧为正侧.50.计算积分，其中S是椭球面的外侧.221.试求极限解.2.试求极限解由.3.试求极限解由于,又,所以，,所以.4.试讨论解当点沿直线趋于原点时，.当点沿抛物线线趋于原点时，.因为二者不等，所以极限不存在.225.试
5、求极限解由=.6.,有连续的偏导数，求解令则7.求解由.8.求抛物面在点处的切平面方程与法线方程。解由于,在处，所以,切平面方程为.即法线方程为.9.求在处的泰勒公式.解由.22得.10.求函数的极值.解由于解得驻点，所以是极小值点,极小值为11.叙述隐函数的定义.答:设，，函数对于方程,若存在集合与，使得对于任何，恒有唯一确定的，使得满足方程,则称由方程确定了一个定义在上，值域含于的隐函数。一般可记为且成立恒等式12.叙述隐函数存在唯一性定理的内容.答:若满足下列条件:（i）函数F在以为内点的某一区域上连续;
6、（ii）（通常称为初始条件）;（iii）在D内存在连续的偏导数;（iv）0,则在点的某邻域内，方程=0唯一地确定了一个定义在某区间内的函数（隐函数），使得1º,时且；2°在内连续.2213.叙述隐函数可微性定理的内容.答:若满足下列条件:（i）函数F在以为内点的某一区域上连续;（ii）（通常称为初始条件）;（iii）在D内存在连续的偏导数;（iv）0,又设在D内还存在连续的偏导数，则由方程所确定的隐函数在在其定义域内有连续导函数，且14.利用隐函数说明反函数的存在性及其导数.答:设在的某邻域内有连续的导函数，且
7、;考虑方程由于,,所以只要，就能满足隐函数定理的所有条件，这时方程能确定出在的某邻域内的连续可微隐函数，并称它为函数的反函数.反函数的导数是15.解:显然及在平面上任一点都连续，由隐函数定理知道，在使得的点附近，方程都能确定隐函数；所以，它的一阶与二阶导数如下：对方程求关于的导数（其中是的函数）并以3除之，得,22或（1）于是（2）再对（1）式求导，得：即（3）把（2）式代入（3）式的右边，得再利用方程就得到16.解:由于处处连续，根据隐函数定理18.3，在原点附近能惟一确定连续可微得隐函数，且可求得它得偏导数
8、如下：17.解:(1)令,则有.由于均连续,且,故在点附近由上述方程能确定隐函数和.(2)当时,由定理知;22同理,当时,由定理知.于是求得并且有,.18.解:首先，即满足初始条件.再求出F，G的所有一阶偏导数容易验算，在点处的所有六个雅可比行列式中只有因此，只有难以肯定能否作为以为自变量的隐函数.除此之外，在的近旁任何两个变量都可作为以其余两个变量为自变量的隐函数.如果我们想求得的偏
