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1、亚式期权定价的控制变量法拟蒙特卡罗模求产经透视亚式期权定价的控制变量法拟蒙特卡罗模拟张凌杨旭娟王宏梅(武汉理工大学湖北武汉430070)摘要用Matlab编程进行数值计算与分析,结果表明多元控制变量法有效地提高了拟蒙特卡罗模拟算术平均亚式期权定价的精确度,并且在维数较高情况下拟蒙特卡罗方法更具优越性.在一定条件下多元控制变量的模拟效果要好于几何平均亚式期权控制变量法模拟的效果.关键词算术平均亚式期权拟蒙特卡罗控制变量法低偏差序列中图分类号F224文献标识码A1引言亚式期权是一种新型期权.由标准期权变化,派生出的一种新的金融合约.
2、最早是由美国银行家信托公司(BankersTrust)于2O世纪9O年代在日本东京推出的.它是一种路径依赖型期权.期权到期时的收益依赖于在整个期权有效期内标的资产的平均价格.由于亚式期权路径依赖的特性.因此,一方面.避免了投机者在接近到期日时通过操纵标的资产价格来牟取暴利的可能;另一方面.在一定程度上避免了期权价格的人为波动.因此深受投资者的青睐.它的定价问题.尤其是算术平均亚式期权的定价问题.不仅是一个理论研究问题也是个很有实际意义的金融应用问题.但它的定价并不容易.难点主要在于决定期权到期时的收益函数没有显式的表达式.近年来
3、大量学者用蒙特卡罗和拟蒙特卡罗方法来估计亚式期权的价格.一些研究表明拟蒙特卡罗法和蒙特卡罗方法是估计亚式期权价格的有效方法.然而蒙特卡罗模拟方法和拟蒙特卡罗模拟方法都存在较大的模拟误差.影响模拟精度.为了提高模拟的稳定性.很多学者提出了方差减少技术,如对偶变量法,控制变量法,重要抽样法等.其中控制变量法在期权定价中是一种非常有效的方法.如何选取更好的控制变量是控制变量法的关键.2亚式期权定价模型说明:S为标的资产在t时刻的价格,r为市场无风险利率.为标的资产收益的波动率.为到期时间.k为期权的执行价格.在Black—Sholes
4、的背景下标的资产价收稿日期:2007—09—08格满足几何布朗运动.即dS.=rSdt+trSdB(t)其中,B(t)为风险中性测度下的标准布朗运动.亚式看涨期权到期日的收益函数为c=eTE(S—K)其中,S是标的资产在(O.)时间内的平均价格.期权价格的计算依赖于标的资产的波动路径和平均价格的种类.因为几何平均亚式期权存在定价的解析解.所以在这里只研究算术平均亚式期权.以看涨期权为例.可分为:(1)离散型的算术平均亚式期权:,rc=:e(∑S.一)'i=I(2)连续型算术平均亚式期权:1rrc=:eTE(1JSalt—)』J0
5、3期权定价的拟蒙特卡罗模拟法拟蒙特卡罗方法与MonteCarlo方法相似,但理论基础不同.拟蒙特卡罗方法是用确定性的超均匀分布序列拟随机数(数学上称为低偏差序列LowDiscrepancySequences)代替蒙特卡罗方法中的伪随机数序列(PseudoRandomSequences).故义称为低偏差序列法.使用该方法近似积分的准确性主要取决于所用点列的偏差(偏差是对点的分布均匀性的一种测度).点列分布越均匀,偏差就越小,准确性就越高.在风险中性市场中,算术平均亚式期权在0时刻的价格为C=eTE(S—)记y=(S—),C=e(S
6、—),用拟蒙特卡岁模拟法模拟n条标的资产价格路径,然后得出每条路径上的平均价格.设y.,y:,…,y为由以上模拟得到的一组独立同分布样本.令G=:erl,,,则C.,C,A,C为C的一组独立同分布样本.记=_l.n:7G,显然C是c的无偏估计.根据大数定律,C是C的拟蒙特卡罗估计式.期权定价的拟蒙特卡罗模拟步骤为:在【O,1]上生成均匀分布的低偏差序列(本文用的是Halton序列);将低偏差序列通过Moro逆变换转化为正态分布的随机数(.:-1);由股票价格&=See模拟出股票价格变化路径,进而模拟出期权价格;将以上步骤
7、重复进行,对所有路径得到的期权价格求平均值.4算术平均亚式期权定价的一个多元控制变量估计4.1控制变量法在亚式期权定价过程中C是待估计的未知量,=}∑G是从模拟中得到的一1=1个无偏估计.引入一个与相关的变量y.令C=:erl,,则C为控制变量.设(Y.,Y.),(Y,Y),A,(Y…Y)为(Y,Y)的一组独立同分布的样本.记=e,C*k~eY*k(k∈{1,2,A,n1),则(C.,C.),(C2,C),A,(,C)为(C,C)的一组独立同分布的样本.记=G,=1,令=+卢(c'-c),其中,为某个常数,e是控制变量拟蒙特罗模
8、拟期权价格口的估计式,其方差为Ⅲ'(c)=Ⅲ'(c)+fl2Var(C)一2口Coy(C一.C一)PloNEERINGWITHSCIENCE&TECHNoLoGYMoNTHLY～0122007107由于砉nr(I,)+nr()一2Cov(一C,一C)d2
