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1、第35卷第9期数学的实践与认识Vol.35No.92005年9月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYSep.,2005拟蒙特卡罗法在亚洲期权定价中的应用詹惠蓉,程乾生(北京大学数学科学学院,北京100871)摘要:亚洲期权是场外交易中几种最受欢迎的新型期权之一,但它的价格却没有解析表达式,到目前为止,亚洲期权的定价仍是个公开问题.本文采用拟蒙特卡罗法中的Halton序列来估计它的价格,数值结果表明当观察点的个数NF13时,它比蒙特卡罗法要好.本文还利用MATLAB程序生成了随机Halton序列,并将它与控制变量法结合起来估计亚
2、洲期权的价格,估计值标准差的比较表明它在大多情况下比相应的蒙特卡罗法的估计效果要好.关键词:亚洲期权;拟蒙特卡罗法;蒙特卡罗法;控制变量1引言¹亚洲期权(Asianoptions)是场外交易中交易最活跃的几种新型期权中的一种,因为它在到期时的收益函数取决于标的资产价格的平均值与期权执行价格之差,故又被称为平均期权.亚洲期权按交割日、平均的类型、样本的观察频率、平均区间与期权的有效区间的关系、执行价格的类型等有各种相应的分类,本文研究的是实际市场上交易的亚洲期权即离散的固定执行价格的欧式算术平均期权,为方便起见,下文中就将它简称为亚洲期权.亚洲期权在股
3、票,商品,利率,能源(尤其电力工业)和外汇上用的很广泛.微软公司的[16]财务总监Jean-FrancoisHeitz1998年6月在接受《RISK》杂志的专访中指出,微软在1995,1996和1997这三年中大约分别有37%,34%和32%的利润是外汇收入.因此来自外汇市场上的风险是影响公司利润的最主要的风险之一,为了很好对冲这类风险,微软公司投资了几种主要外汇的亚洲期权,从而保持了公司较稳定的利润.不过并不是所有的亚洲期权都在场外交易,如在香港股票交易所交易的恒生指数期权,就是一种在到期日当天对每[17]隔五分钟观察到的指数值取算术平均的亚洲期权
4、.虽然亚洲期权的应用广泛,但它的价格至今仍无解析表达式,因而对它的定价的研究越[3,13—][1—2,4,6—8]显急迫和重要.近年来,大量的学者用蒙特卡罗法和拟蒙特卡罗法来估计亚洲期权的价格.本文的目的是采用拟蒙特卡罗法中的Halton序列和结合控制变量的随机Halton序列来估计亚洲期权的价格,通过与相应的蒙特卡罗法估计的比较,来研究它在此期权定价中的优劣性.本文与其他研究者的工作有两点不同:其一,由于没能象大多文献那º[5]样采用FINDER软件,我们利用MATLAB程序生成的Halton序列,并在此基础上通过一定的改进得到随机的Halton序
5、列,从而结合各种控制变量来估计亚洲期权的价格.其二,我们用的是拟蒙特卡罗序列中质量较差的Halton序列,别的文献通常用效果更好的网收稿日期:2003-03-15¹不在正规的交易所内的交易.º美国哥伦比亚大学开发此软件并拥有专利权,对外收费使用.9期詹惠蓉,等:拟蒙特卡罗法在亚洲期权定价中的应用21格法则(latticerules),Sobol序列和GFaure序列等,但我们的结论仍很具启发性且其中有些与这些序列的结论很相似.本文的内容组织如下:第2部分是阐述拟蒙特卡罗法的一些基本知识;第3部分是介绍亚洲期权定价的数学模型;第4部分介绍数值实验的设计
6、和结果;第5部分是总结全文.2拟蒙特卡罗法2.1拟蒙特卡罗法的概述关于拟蒙特卡罗法系统的阐述和最新的研究进展可参考[1]和[3],下面我们将简略地介绍一下它的一些基本概念和结论.拟蒙特卡罗法(Quasi-MonteCarlomethods)或称为低偏差序列法(Low-discrepancy[10]sequencemethods),或数论方法,前两种叫法本文都有使用.因为它非常类似于蒙特卡罗法,但它是基于确定性的点列而不是蒙特卡罗法中的随机点列,故称“拟蒙特卡罗”.用它来近似积分的准确性主要取决于偏差(discrepancy)(用来度量确定的点列在积分
7、域上均匀分布的程度),点列分布得越均匀,偏差就越小,准确性就越高.关于拟蒙特卡罗法近似积分的误差,下面的定理给出了它的上界.[3]ddd定理(Koksma-Hlawka)设I=[0,1),f在I上有在Hardy-Krause意义下的有d界变差函数V(f),那么对任意的x1,x2,⋯,xn∈I,有n1*∑f(xk)-∫f(u)duFV(f)Dn(1)nk=1Id*其中Dn是星形偏差,d,n分别为序列元素的维数和个数;这个定理只是理论上的结果,并无多少实际意义,因为要近似计算V(f)都很难.[10]指出可以找到一个点列,使nd1*-1+E*(logn)∑
8、f(xk)以Dn=O(n),甚至Dn=O的速度收敛到∫f(u)du,则当d>nk=1nId-1/22时,这些
