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1、线性代数习题库第一套一. 填空题(每小题3分,满分30分)1. 设都是4维列向量,且4阶行列式则4阶行列式_______________。2. 已知线性相关,不能由线性表示则线性__________3. 设是阶矩阵,是阶矩阵,,,且,则的取值范围是________________4.设是43矩阵,且的秩且 则__________-5.设0是矩阵 的特征值,则_____________.6.设是正定二次型,则的取值区间为7.矩阵
2、对应的二次型是_______________8.设 相似于对角阵,则9.设为3阶方阵,为伴随矩阵,,则=___________10.设 是不可逆矩阵,则____________二 (8分)计算行列式一. 三.(8分)三阶方阵满足关系式:,且 ,求.四.(10分)设 求向量组的秩及其一个极大无关组.五.(12分)问常数取何值时,方程组8
3、 无解,有唯一解,或有无穷多解,并在有无穷多解时写出其一般解.六.(16分)求正交变换,将二次型化为标准形,并写出其标准形.七.(8分)设都是阶矩阵,且可逆,证明与有相同的特征值.八.(8分)设向量组线性无关,向量可由向量组线性表示,而向量不能由向量组线性表示.证明:个向量必线性无关.第二套一. 填空题(每小题3分，满分30分)1.=。2.已知α=(0,-1,2)T,β=(0,-1,1)T,且A=αβT,则A4=。3. 设A、B为4阶方阵，且=2，=
4、81，则=4.设3阶方阵A的非零特征值为5，-3，则=5.与向量组α1=(,,,)T,α2=(,,-,-)T,α3=(,-,,-)T,都正交的单位向量α4=6.A是3×4矩阵，其秩rank=2,B=,则rank= _____7.设β1、β2是非齐次方程组Ax=b的两个不同的解，α是对应的齐次方程组的基础解系，则用β1,β2,α表示Ax=b的通解为。8. 向量组α1=(1,1,1)T,α2=(1,2,4)T,α3=(1,a,a2)T线性无关的充要条件为a≠且a≠。9.设可逆方阵A的
5、特征值为λ，则kA-1的特征值为。10. f(x1,x2,x3)=x12+ax22+2x32-2x1x2为正定二次型，则a的取值范围为二.（10分）计算n阶行列式Dn=8 三.（8分）设A、B为3阶矩阵，且A2B=A+B–E，其中A= ，E为3阶单位矩阵，求矩阵B。 四.（8分）确定a、b的值，使矩阵A= 的秩为2。五.（10分）设α1=(1,0,2,1)T,α2=(1,2,0,1)T,α3=(2,1,3,0)T,α4=(
6、2,5,-1,4)T,求此向量组的秩及一个极大无关组。六.六. （8分）设α1,α2,…,αn,αn+1线性相关，而其中任意n个向量均线性无关，证明:必存在（n+1）个全不为零的数k1,k2,…,kn,kn+1使得k1α1+k2α2+…+knαn+kn+1αn+1=0七、（10分）设齐次方程组a11x1+a12x2+…+a1nxn=0,a21x1+a22x2+…+a2nxn=0,……an1x1+an2x2+…+annxn=0,的系数行列式=0，A的某一元素akj的代数余子式Akj≠0，证明:x=(Ak1,Ak2,…,Ak
7、n)T为此方程组的一个基础解系。 八、（16分）求正交矩阵P，将二次型f(x1,x2,x3)=-x12-x22-x32+4x1x2+4x1x3-4x2x3化为标准形并写出此标准形。第三套一. 填空题(每小题3分，满分30分)1.2.8 3. 设A、B为4阶方阵，且，，则4. 5. A是矩阵，其秩rank=1, ,则rank= _____6. 7.设方阵A有一特征值为λ，则的特征值为。8.9. 8第四套一.填空题(
8、每小题3分,满分30分)_______。二.(8分)计算n阶行列式 8 三．(8分)已知矩阵满足关系式：其中 ,求四．(10分)设向量组问(1)为何值时，向量组线性无关。（2）为何值时，向量组线性相关，并求其秩及一个极大无关组。五．(14分)对参数讨论方程组 的解,有解时
