《计算机应用数学》教案第3章 导数的应用

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1、《计算机应用数学》教案授课对象系别课时安排2年级班次章节题目第3章3.1中值定理和洛必达法则教学目标了解几个中值定理的证明过程，灵活利用洛必达法则求极限教学重点利用洛必达法则求极限教学难点利用洛必达法则求极限教学方法讲练结合教学用具黑板、粉笔、多媒体新课导入我们可否利用导数与微分这一方法来分析和研究函数的性质、图形以及各种形态？重点与难点讲解方法数形结合，通过图形来讲解说明相关定理教学小结知识小结1、了解几个中值定理的证明过程2、洛必达法则教后札记改进措施课后作业习题3.11.（1）（2）（3）（4）2.3.教学

2、过程：一、知识回顾导数的几何意义？导数的求法？二、新课导入我们可否利用导数与微分这一方法来分析和研究函数的性质、图形以及各种形态？三、新课内容1、拉格朗日（Lagrange）中值定理若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在内至少有一点，使成立.罗尔(Rolle)中值定理若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，则在内至少有一点，使成立.柯西(Cauchy)中值定理若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且在开区间内，则在内至少有一点，使成立.令，则，，，这时柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理，可见拉格朗日中值定

3、理是柯西中值定理的特殊情形.2、(洛必达法则I)若(1)，；(2)与在的某去心邻域内可导，且；(3)存在，（或为），则．(洛必达法则Ⅱ)若(1)，；(2)与在的某去心邻域内可导，且；(3)存在，（或为），则．在定理4.2.1和4.2.2中，若把换成，，，或时，只需对两定理中的假设(2)作相应的修改，结论仍然成立．【例题精讲】例1验证拉格朗日中值定理对函数在闭区间上的正确性.解：显然函数在上连续，又在内可导，即满足拉格朗日中值定理的条件，所以该函数在内至少存在一点，使，即，得，这就说明了拉格朗日中值定理对函数在闭区

4、间上是正确的.例2验证罗尔中值定理对函数在闭区间上的正确性.解：显然函数在上连续，又在内可导，且，即满足罗尔中值定理的条件，所以该函数在内至少存在一点，使，即，得，这就说明了罗尔定理对函数在闭区间上是正确的.例3求极限.解：这是型不定式，由洛必达法则，得.例4求极限.解：这是型不定式，由洛必达法则，得.例5求极限.解：这是型不定式，由洛必达法则，得.【课堂练习】例1求极限.解：这是型不定式，由洛必达法则，得.例2求极限.解：这是型不定式，由洛必达法则，得.例3求极限.解：这是型不定式，由洛必达法则，得.【问题思考

5、】求极限【知识小结】1、了解几个中值定理的证明过程；2、洛必达法则.【课后作业】习题3.11.（1）（2）（3）（4）2.3.四、板书设计课题一、二、三、课堂练习例1例2重点：难点：《计算机应用数学》教案授课对象系别课时安排2年级班次章节题目第3章3.1中值定理和洛必达法3.2函数的单调性和极值教学目标灵活利用洛必达法则求极限，会求函数的单调区间教学重点利用洛必达法则求极限，函数的单调性教学难点利用洛必达法则求极限，函数的单调性教学方法讲练结合教学用具黑板、粉笔、多媒体新课导入极限重点与难点讲解方法一定要先把定理

6、说清楚，再把各种类型的例题精讲，精练.教学小结知识小结1、洛必达法则；2、函数的单调性.教后札记改进措施课后作业习题3.11.（13）（14）习题3.23.（1）（3）教学过程：一、知识回顾洛必达法则和型未定式的求法二、新课导入极限三、新课内容1、如，，，，等不定式也可通过适当转化，化成型或型的不定式后再计算.（1）型若，，则就构成了型不定式，它可以作如下变换：（型）或（型）.（2）型此类型可以通过通分转化为型或型不定式.（3），，型此类型可以通过取对数进行如下转化：.2、定理（函数单调性判别定理）设函数在闭区间

7、上连续，在开区间内可导，则1）若对任意，有,则在上严格单调增加；2）若对任意，有,则在上严格单调减少.【例题精讲】例1求极限.解：.例2求极限.解：.例3求极限.解：因为，而，所以.例4讨论函数的单调性.解：如图3.4所示，函数的定义域为，当时，；当时，函数的导数不存在．当时，；当时，，故函数在内单调减少，在内单调增加.例5求函数的单调区间.解：函数的定义域为.又，令，得.列表分析如下：所以函数的单调增加区间为，单调减少区间为.【课堂练习】例1求极限.解：因为，而，所以.例2求极限.解：（利用等价无穷小量代换）.

8、例3求函数的单调区间.解：函数的定义域为，函数在整个定义域内可导，且.令，得.当时，；当时，，所以函数在上单调减少，在上单调增加.例4求函数的单调区间.解：函数的定义域为．又，令，得，.列表分析如下：1200所以函数的单调增加区间为和，单调减少区间为.【问题思考】例5中导数为0的点是最大值和最小值吗？【知识小结】1、洛必达法则；2、函数的单调性.【课后作业】习题3.