教案 (3)_导数的应用

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1、.第三章导数的应用教学目标：理解罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理，并弄清三个定理之间的关系。会用三个定理证明相应的命题，求解相应的问题。教学重难点：理解罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理。主要内容:罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理教学过程：导数在自然科学和工程技术上都有着及其广泛的应用，在建立了导数的概念之后，本章将介绍中值定理、利用导数求极限的方法——罗比塔法则、利用导数判断函数的单调区间、凸凹区间及求一元函数极值和函数作图的方法，来解决一些有关的实际应用问题.§3.1微分中值定理一罗尔定理定理

2、若函数f(x)满足条件：（1）f(x)在[a,b]上连续；（2）f(x)在（a,b）内可导，（3）f(a)=f(b),则在（a,b）内至少存在一点，使得f′()=0.证明由条件（1）知f(x)在[a,b]上连续，故f(x)在上必能得最大值M和最小值m，此时，又有二种情况：其一，M=m，即f(x)在[a,b]上得最大值和最小值相等，从而知，此时f(x)为常数：f(x)''＝M=m，f(x)＝0，因此，可知为（a,b）内任一点，都有f()＝0.其二，M＞m,此时M和m之中，必有一个不等于f(a)或f(b)，不妨设M

3、f(a)（对mf(a)同理证明），这时必然在（a,b）内存在一点，使得f()=M,即f(x)在点得最大值.下面'来证明：f()=0'首先由条件（2）知f()是存在的，由定义知：'f(x)f()f(x)Mf()=limlim(1)xxxx因为M为最大值，对x有f(x)Mf(x)－M0,...f(x)f()f(x)M当x>时，有0xxf(x)f()f(x)M当x<时，有0.xx又因为式（1）的极限存在，即左、右极限都存在，且都等于f

4、()，即f()f()f()，_f(x)f()然而，又有f()f()lim0和xxf(x)f()f()f()lim0f()0.xx注意：1.定理中的三个条件缺一不可，否则定理未必成立，即指定理中的条件是充分的而非必要的.2.罗尔定理中的点不一定唯一.事实上，从定理的证明过程中不难看出：若可导函数f(x)在点处取得最大值或最小值，则有f()0.y3.定理的几何意义：设有一段弧的两端点的高度相等，且弧长除两端点外，处处都有不垂直

5、于x轴的切线，到弧f(a)f(b)上至少有一点处的切线平行于x轴.（图3.1）二拉格朗日中值定理oaξξbx定理若函数满足条件：图3-1(1)f(x)在[a,b]上连续；(2)f(x)在(a,b)上可导；则在(a,b)内至少存在一点，使得f(b)f(a)f()成立.ba此时，如果有f(a)f(b)，则：f()0.可见罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情况，下面用罗尔中值定理来证明.证明：上式又可写为...f(b)f(a)f()0baf(b)f(a)作一个辅助函数：F(x)f(

6、x)(xa)ba显然，F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且f(b)f(a)F(a)f(a)(aa)f(a)baf(b)f(a)F(b)f(b)(ba)f(a)baF(a)F(b)，所以由罗尔中值定理，在(a,b)内至少存在一点,使得f(b)f(a)F()0.又F(x)f(x)baf(b)f(a)f(b)f(a)f()0即：f().baba注意1.拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广；2.定理中的结论，可以写成f(b)f(a)f

7、()(ba)(ab)，此式也称为拉格朗日公式，其中可写成：a(ba)(01)f(b)f(a)f(a(ba))(ba)若令bah,f(ah)f(a)f(ah)h3：若ab，定理中的条件相应地改为：f(x)在[b,a]上连续，在(b,a)内可导，则结论为：f(a)f(b)f()(ab)也可写成f(b)f(a)f()(ba)可见，不论a,b哪个大，其拉格朗日公式总是一样的.这时，为介于a,b之间的一个数，式中的h不论正负，只要f(x)满足

8、条件都是成立的.4：设在点x处有一个增量x，得到点xx，在以x和xx为端点的区间上应用拉格朗日中值定理，有f(xx)f(x)f(xx)x(01)即yf(xx)x这准确地表达了y和x这两个增量间的关系，故该定理为微分中值定理的核心.5：几何意义：如果曲线yf(x)在除端点外的