《导数的应用(Ⅱ)》 教案.doc

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1、导数的应用（Ⅱ）适用学科数学适用年级高三适用区域新课标课时时长（分钟）60知识点用导数处理恒成立问题利用导数解决生活中的优化问题教学目标1.能利用导数研究函数的单调性、极值或最值，并会解决与之有关的不等式问题．2.会利用导数解决某些简单的实际问题.教学重点用导数处理恒成立问题教学难点用导数处理恒成立问题教学过程一、课堂导入我们知道，汽油的消耗量w（单位：L）与汽车的速度v（单位：km/h）之间有一定的关系，汽油的消耗量w是汽车速度v的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题： ① 是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？ ②“汽油的使用率最高”的含义是什

2、么？ 通过实际问题引发学生思考，进而导入本节课二、复习预习1.函数的单调性与导数的关系2.函数的极值与导数的关系3.函数的最值与导数的关系4.函数的极值和函数的最值的联系和区别三、知识讲解考点1生活中的优化问题生活中常遇到求利润最大，用料最省、效率最高等一些实际问题，这些问题通常称为优化问题．考点2利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤考点3求实际问题中的最值问题有关函数最大值、最小值的实际问题，一般指的是单峰函数，也就是说在实际问题中，如果遇到函数在区间内只有一个极值点，那么不与区间端点比较，就可以知道这个极值点就是最大(小)值点．四、例题精析【例题1

3、】【题干】设函数f(x)＝lnx－ax2－bx.(1)当a＝b＝时，求f(x)的最大值；(2)令F(x)＝f(x)＋ax2＋bx＋(00，此时f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，此时f(x

4、)单调递减．所以f(x)的极大值为f(1)＝－.又因为f′(x)＝0在(0，＋∞)上有唯一解，所以f(x)的最大值为－.(2)由题意得F(x)＝lnx＋，x∈(0,3]，则k＝F′(x0)＝≤在x0∈(0,3]上恒成立，所以a≥max，x0∈(0,3]．当x0＝1时，－x＋x0取得最大值，所以a≥.(3)因为方程2mf(x)＝x2有唯一实数解，所以x2－2mlnx－2mx＝0有唯一实数解．设g(x)＝x2－2mlnx－2mx，则g′(x)＝.令g′(x)＝0，即x2－mx－m＝0.因为m>0，x>0，所以x1＝<0(舍去)，x2＝.当x∈(0，x2)时，

5、g′(x)<0，g(x)在(0，x2)上单调递减；当x∈(x2，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在(x2，＋∞)上单调递增；当x＝x2时，g′(x2)＝0，g(x)取最小值g(x2)．因为2mf(x)＝x2有唯一实数解，则即所以2mlnx2＋mx2－m＝0.又因为m>0，所以2lnx2＋x2－1＝0.(*)设函数h(x)＝2lnx＋x－1，当x>0时，h(x)是增函数，所以h(x)＝0至多有一解．因为h(1)＝0，所以方程(*)的解为x2＝1，即＝1，解得m＝.【例题2】【题干】已知f(x)＝(x2－a)ex，a∈R.(1)若a＝3，求f(x)的单调区

6、间和极值；(2)已知x1，x2是f(x)的两个不同的极值点，且

7、x1＋x2

8、≥

9、x1x2

10、，求实数a的取值集合M；(3)在(2)的条件下，若不等式3f(a)0；x∈(－3,1)时，f′(x)<0，∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－3)，(1，＋∞)；单调递减区间为(－3,1)．∴f(x)的极大值为f(－3)＝6e－3；极小值为f(1

11、)＝－2e.(2)令f′(x)＝(x2＋2x－a)ex＝0，即x2＋2x－a＝0，由题意其两根为x1，x2，∴x1＋x2＝－2，x1x2＝－a，故－2≤a≤2.又Δ＝4＋4a>0，∴－1

12、－13f(a)－a3－a2＋3a对a∈M都成立，记g(a)＝3f(a)－a3－a2＋3a(－1

13、g(0)＝0，g(2)＝6e2－8，∴g(a)max＝6e2－8，∴b>6e2－