导数应用教案

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1、数学第一轮复习教案---导数的应用第二讲导数的应用（3课时）一、基础知识梳理：（一）导数与函数的单调性的关系设函数在区间内可导，则在区间上是增（减）函数的充要条件是在区间恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0.注①如果函数在区间内恒有=0，则为__常数函数__________.②是f（x）递增的____充分_______条件，③f（x）递增；反之f（x）递增（二）极值1、极值的定义：在附近所有的点，都有，则是函数的极大值，同理:在附近所有的点，都有，则是函数的极小值；函数的极大值与极小值统称_极值；取得极值的__________________叫做极值点。2

2、、极值的判别方法：当函数在点处连续时，①如果在附近的左侧_，右侧，那么是极大值；②如果在附近的左侧，右侧_，那么是极小值.注①：对于可导函数,是极值点的充要条件是 _______________________________对于可导函数，是是极值点的______条件②极值是局部概念，极值点是区间内部的点而不会是端点；③极值的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小.④若在某区间内有极值，那么在某区间内一定不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值；二、基础训练：1、（2009江苏卷）函数的单调减区间为__________解析：，由得单调减区间为。注：求

3、函数的单调增(减)区间，只需解不等式不必考虑等号。2、函数的极值点是______极值是3、函数y＝sin2x－x，x∈的最大值是________，最小值是________．答案：　－4、（2009辽宁卷文）若函数在处取极值，则解析:f’(x)＝f’(1)＝＝0Þa＝3三、典型例题：题型一：导数与函数的单调性1、（2009北京卷）设函数（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问

4、题的能力．（Ⅰ）,曲线在点处的切线方程为.（Ⅱ）由，得，若，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，若，则当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是.8数学第一轮复习教案---导数的应用2、赢在高考第47页迁移训练第1题（教师用书第88页左面第一题）略3、设平面向量，若存在不同时为零的两个实数s、t及实数k，使（1）求函数关系式；（2）函数在上是单调函数，求k的取值范围。解：（1），，，，，（2）则在上有由由。因为在t

5、∈上是增函数，所以不存在k，使在上恒成立。故k的取值范围是。4、（2009浙江文）已知函数．（I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；（II）若函数在区间上不单调，求的取值范围．解析：（Ⅰ）由题意得又，解得，或（Ⅱ）函数在区间不单调，等价于导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数，即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有，即：整理得：，解得题型二：导数与函数的极值、最值1．已知函数f(x)＝x2e－ax(a>0)，求函数在[1,2]上的最大值．分析：通过求导先判断单调性再求最值．在求最值时，对a的情况要进行讨论．解：f(x)＝x2e

6、－ax(a>0)，∴f′(x)＝2xe－ax＋x2·(－a)e－ax＝e－ax(－ax2＋2x)．令f′(x)>0，即e－ax(－ax2＋2x)>0，得02时，f(x)在(1,2)上是减函数，∴[f(x)]max＝f(1)＝e－a.②当1≤≤2，即1≤a≤2时，f(x)在上是增函数，在上是减函数，∴[f(x)]max＝f＝4a－2e－2.③当>2时，即0

7、值为4e－2a，当1≤a≤2时，f(x)的最大值为4a－2e－2，当a>2时，f(x)的最大值为e－a.评析：求函数在闭区间上的最值，首先应判断函数的单调性，一般情况下是先利用导数求出单调区间，分清单调区间与已知区间的关系，有时也需要分类讨论，分类时要不重不漏．2、设函数，其中；（Ⅰ）若，求在的最小值；（Ⅱ）如果在定义域内既有极大值又有极小值，求实数的取值范围；解：（Ⅰ）由题意知，的定义域为，8数学第一轮复习教案---导数的应用时，由，得（舍去），当时，，当时，，所以当时，单调递减；当时，单调递增，所以（Ⅱ）由题意在有两个不等实根，即在有两个不等实根，设，则

8、，解之得3．已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，