高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 . 指数函数 .. 指数函数名师导航学案 苏教版必修

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1、3.1.1指数函数名师导航知识梳理1.基础知识图表2.指数函数的定义函数_________(a>0且a≠1)叫做指数函数.定义中对a>0且a≠1的规定，是为了保证定义域为实数集，且具有单调性.(1)如果a=0，当x>0时，ax恒等于0；当x≤0时，ax无意义；(2)如果a<0，比如y=(-4)x，对x=,等都无意义；(3)如果a=1，则y=1x=1是一个常数，对它没有研究的必要.此时，y=ax的反函数不存在，且不具有单调性;(4)对于无理数指数幂，过去学过的有理数指数幂的性质和运算法则都适用;(5)像y=2·3x,y=，y=3x+

2、4等函数都不是指数函数，要注意区分.3.指数函数的图象和性质熟练地掌握指数函数的图象，是记忆和理解指数函数性质的关键.指数函数的性质如下表：a>100时,y>1x<0时,00时,01(-∞,+∞)上为增函数(-∞,+∞)上为减函数当x>0时,底大图象高;x<0时,底大图象低4.关于函数的图象和性质，需注意的几个问题(1)单调性是指数函数的重要性质，特别是由函数图象的无限伸展，x轴是函数图象的渐近线.当0

3、，x→+∞,y→0；当a>1时，x→-∞,y→0,当a>1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快;当01)是增函数.9证明：当a>1时，任取x1、x2∈R,x1x1,a>1,∴>1.又∵>0,∴>.∴>.从而指数函数y=ax(a>1)在R上是增函数.(4)注意几个熟悉的指数函数图

4、象的平移变换和对称变换，而得到相关函数的图象.疑难突破为什么在指数函数的定义中限定底数的范围为a＞0且a≠1？(1)若a=0，则当x>0时，ax=0；当x≤0时，ax无意义.(2)若a<0，则对于x的某些数值，可使ax无意义.如(-2)x，这时对于x=，x=，…，在实数范围内函数值不存在.(3)若a=1，则对于任何x∈R，ax=1，是一个常量，没有研究的必要性.为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1.在规定以后，对于任何x∈R，ax都有意义，且ax>0.问题探究问题1我们是怎么研究指数函数的性质的？探究思路：我们是通过研究指

5、数函数的图象特征来研究指数函数的性质的.函数的图象特征与函数性质存在着一定的对应关系.问题2在同一个坐标系中画出下列各函数的图象：①y=2x；②y=5x；③y=()x；④y=()x.观察四个函数图象，看它们有何特点？你能从中总结出一般性结论吗？探究思路：指数函数y=ax(a＞0且a≠1)恒过两个点(0，1)和(1，a).这四个函数都经过(0，1)，又分别经过(1，2)、(1，5)、(1，)、(1，).再由函数的单调性就可以画出四个函数的大致图象(如下图).根据图象可知函数①与④、②与③分别关于y轴对称.问题3对于指数函数y=ax(

6、a＞0且a≠1)，有人总结出其底数a越接近1，其图象就越接近直线y=1，你认为该结论成立吗？探究思路：要说明该结论的正确性，我们可通过例子来验证.我们可在同一坐标系中分别作出函数y=2x、y=3x和y=5x的图象(如下图所示)，根据图象能看出该结论是正确的.9典题精讲例1将三个数1.5-0.2，1.30.7，按从小到大的顺序排列.思路解析先比较1.5-0.2即()0.2和的大小，考察指数函数y=()x，由于底数在区间(0，1)内，所以指数函数y=()x在(-∞，+∞)上是减函数.故由0.2=＜得1＞()0.2＞.另一方面，由于1.

7、3＞1，y=1.3x在(-∞，+∞)上是增函数，由0.7＞0，得1.30.7＞1.所以＜1.5-0.2＜1.30.7.答案:＜1.5-0.2＜1.30.7.例2求下列函数的定义域与值域：(1)y=；(2)y=()

8、x

9、；(3)y=4x+2x+1+1；(4)y=.思路解析(1)因为指数函数y=2x的定义域为x∈R时，值域为y∈(0，+∞)；若x≠0，则y≠1；由于y=中的≠0，所以y≠20=1；所以所求函数的定义域是{x

10、x∈R且x≠3}，值域为{y

11、y＞0且y≠1}.(2)因为y=()

12、x

13、中的

14、x

15、≥0，所以x∈R，0＜y≤1.

16、所以所求函数的定义域为R，值域为{y

17、0＜y≤1}.(3)将已知函数整理成y=4x+2x+1+1=(2x)2+2(2x)+1=(2x+1)2.由此可知定义域为R，值域为{y

18、y＞1}.(4)已知函数可化为y=，由≥0得x＞1；9又由＞0，得y=＞1