高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.3幂函数名师导航学案苏教版必修1

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1、3.3幂函数名师导航知识梳理1.幂函数的概念定义:形如___________的函数叫做幂函数,其中___________是自变量,___________是常数.注意:在这里我们只讨论α为有理数时的简单的幂函数.虽然y=x、y=x2是幂函数,但并不是所有的一次函数、二次函数都是幂函数,如:y=x+1、y=2x2+1、y=x-1、y=x2+2x、y=2x都不是幂函数,它们并不满足幂函数的定义,但它们是与幂函数相关联的函数,它们是由幂函数与常数经过算术运算得到的.2.幂函数的定义域幂函数的定义域就是使幂函数有意义的实数x的集合.如

2、果幂函数的指数是常数,则幂函数的定义域较好求,若是给出字母指数,应分四种情况讨论y=xn的定义域.(1)当指数n是正整数时,y=xn的定义域是___________.(2)当指数n是正分数时,设n=(p、q是互质的正整数,q>1),则xn=.如果q是奇数,y=xn的定义域是_____________;如果q是偶数,y=xn的定义域是_____________.(3)当指数n是负整数时,设n=-k,则xn=.显然x≠0,y=xn的定义域是.(4)当指数n是负分数时,设n=-(p、q是互质的正整数,q>1),则xn=.如果q是奇

3、数,y=xn的定义域是_____________;如果q是偶数,y=xn的定义域是_____________.3.幂函数的图象描绘幂函数的图象:依幂函数的定义域先列出对应值表,再用描点法作图.列出对应值表是描点法的关键.例如,画出函数y=x-2,y=的图象.y=x-2定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)(图(1)),x…-3-2-1-123…y=x-2…1441…y=定义域为(0,+∞)(图(2)).x…14…y=…4321…(1)(2)4.幂函数的性质当n>0时,幂函数y=xn有下列性质:(1)图象都通过点(0,0),(1,

4、1);(2)在第一象限内,函数值y随x的增大而增大.当n<0时,幂函数y=xn的性质:(1)图象都过点(1,1);(2)图象以直线x=0,y=0为渐近线;(3)在第一象限内的图象是下降的,即函数值y随x的增大而减小;(4)x∈(0,1)时,n越大曲线越靠近y轴,x∈(1,+∞)时,n越小曲线越靠近x轴.疑难突破1.幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的性质是什么?幂函数y=xy=x2y=x3y=y=x-1定义域RRR[0,+∞){x

5、x∈R且x≠0}值域R[0,+∞)R[0,+∞){y

6、y∈R且y≠0}奇偶性奇

7、偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0,+∞)时,增;x∈(-∞,0)时,减增增x∈(0,+∞)时,减;x∈(-∞,0)时,减过定点(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1)2.当n取不同的有理数时,幂函数y=xn的定义域怎样?当n∈N*时,定义域为R;当n=0时,定义域为{x

8、x≠0};当n为负整数时,定义域为{x

9、x≠0};当n=(p、q∈N*,q>1且p、q互质)时,①若q为偶数,则定义域为[0,+∞);②若q为奇数,则定义域为R;当n=-(p、q∈N*,q>1且p、

10、q互质)时,①若q为偶数,则定义域为(0,+∞);②若q为奇数,则定义域为{x

11、x≠0}.问题探究问题1幂函数与指数函数有何不同?探究思路:虽然幂函数和指数函数的表达式都是指数式的形式,但二者的定义域不同,即指数函数y=a2中,指数是自变量,而幂函数y=xα中,底数是自变量.当然,由此可见,二者的对应关系和值域也不同.问题2分数指数幂可以与根式相互转化.把下列各函数先化成根式形式,再指出它的定义域和奇偶性.利用几何画板画出它们的图象,观察它们的图象,看有什么共同点.(1)y=;(2)y=;(3)y=;(4)y=.探究思路:先

12、将各式化为根式形式:(1)y=;(2)y=;(3)y=;(4)y=.函数的定义域就是使这些根式有意义的实数x的集合;奇偶性直接利用定义进行判断.(1)的定义域为[0,+∞),(2)(3)(4)的定义域都是R;其中(1)既不是奇函数也不是偶函数,(2)(4)是奇函数,(3)是偶函数.它们的图象都经过点(0,0)和(1,1),且在第一象限内函数图象自左而右呈上升趋势,即函数在x∈[0,+∞)上单调递增.典题精讲例1若<,则a的取值范围是______________.思路解析因为函数y=在[0,+∞)上单调递增,所以y=在[0,+

13、∞)上单调递减.所以解得<a<.答案:(,)例2已知0<a<1,试比较aa,(aa)a,的大小.思路解析为比较aa与(aa)a的大小,将它们看成指数相同的两个幂.由于幂函数f(x)=xa(0<a<1=在区间[0,+∞)上是增函数,因此只需比较底数a与aa的大小.由于指数函数y=az(0<a

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