高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.3幂函数学案苏教版必修1

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1、3．3　幂函数1．了解幂函数的概念，会画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，的图象．2．能根据幂函数的图象，了解幂函数的性质．3．会用几个常见的幂函数性质比较大小．1．幂函数一般地，我们把形如y＝xα(α∈R)的函数叫做幂函数，其中x为自变量，α为常数．幂函数的定义域是使xα有意义的所有x的集合，因α的不同，定义域也不同，如函数y＝x2的定义域为R，而函数y＝的定义域为{x

2、x∈R，且x≠0}．判断函数是否为幂函数时要根据定义，即xα的系数为1，指数位置的α为一个常数，或者经过变形后满足条件的均可．【做一做1】下列函数是幂函数的有________．①y＝x2②y＝③y＝x3＋x④y＝2

3、x⑤y＝x－3答案：①②⑤2．幂函数的图象与性质函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．从图中可以观察得到它们的特征如下：【做一做2－1】，，的大小关系是__________．答案：a＜b＜c【做一做2－2】函数的奇偶性是__________，单调性是__________．答案：奇函数　在R上单调递增【做一做2－3】函数y＝x－2的值域为__________．答案：(0，＋∞)当n取不同的有理数时，幂函数y＝xn的图象及性质．剖析：我们只研究n是有理数的情况，规定n＝是既约分数：(1)如下表所示：y＝xn奇函数(p奇q奇)偶函数(p偶q奇)非奇非偶

4、函数(q偶)n＞10＜n＜1n＜0(2)当n∈N*时，定义域为R；当n＝0时，定义域为{x

5、x≠0}；当n为负整数时，定义域为{x

6、x≠0}；当n＝(p，q∈N*，q＞1，且p，q互质)时，①若q为偶数，则定义域为[0，＋∞)，②若q为奇数，则定义域为R，当n＝－(p，q∈N*，q＞1，且p，q互质)时，①若q为偶数，则定义域为(0，＋∞)，②若q为奇数，则定义域为{x

7、x≠0}．(3)①在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．②当n＞0时，图象都通过原点，并且在(0，＋∞)上的图象是上升的，向上无限伸展，是增函数；当n＝0时，图象是除去点(0,1)的直线y＝1；当n＜0时，图象

8、都不过原点，并且在(0，＋∞)上的图象是下降的，向右与x轴无限靠近，是减函数．③在直线x＝1的右侧，指数n越大图象位置越高．题型一幂函数的性质【例1】当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2－m－1)x－5m－3为减函数，求实数m的值．分析：幂函数的一般形式为y＝xα，说明其系数为1，由此确定m值．解：由条件得解得m＝2.反思：对于幂函数y＝xα来说，其系数为1，当题目中还有其他性质时，必须根据此性质写出约束条件．本题函数在(0，＋∞)上为减函数，说明指数小于0.【例2】将四个数1.20.5,1.20.6,0.51.2,0.61.2按从小到大的顺序排列．分析：本题要用到两类函数，既要运用指数函

9、数的性质，又要运用幂函数的性质，不能混淆两种函数．解：因为函数y＝1.2x在R上单调递增，所以1.20.6＞1.20.5＞1.20＝1.因为函数y＝x1.2在(0，＋∞)上单调递增，所以0.51.2＜0.61.2＜11.2＝1.综上所述，0.51.2＜0.61.2＜1.20.5＜1.20.6.反思：在函数值的大小比较中，0和1是两个特殊值，它们起着桥梁作用．题型二幂函数的图象及其应用【例3】画函数y＝1＋的草图，并求出其单调区间．分析：此函数的作图有两种途径，一是根据描点的方法作图，二是利用图象变换来作图．一般说来，作草图时，利用图象变换较为方便．解：y＝1＋＝＋1.此函数的图象可由下列变换

10、而得到：先作函数y＝的图象，作其关于y轴的对称图象，即y＝的图象，将所得图象向右平移3个单位，向上平移1个单位，即为y＝1＋的图象(如下图所示)．从图象知y＝1＋的单调递减区间为(－∞，3]．反思：本题容易发生的错误：一是函数概念不清(该函数是以x为自变量的函数)；二是将函数式变形的过程不是等价变形，导致变形后的函数已不再是原有的函数了．【例4】已知点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，有(1)f(x)＞g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)＜g(x)?解：设f(x)＝xa，因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上，将点(，2)代入f(x)

11、＝xa中，得2＝()a，解得a＝2，即f(x)＝x2；设g(x)＝xb，因为点在幂函数g(x)的图象上，将点代入g(x)＝xb中，得＝(－2)b，解得b＝－2，即g(x)＝x－2.在同一平面直角坐标系中作出f(x)＝x2与g(x)＝x－2的图象如图所示．由图象可知：(1)当x＞1，或x＜－1时，f(x)＞g(x)；(2)当x＝1，或x＝－1时，f(x)＝g(x)；(3)当－1＜x＜1且x≠0时，f(x)＜g(