2018版高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.3 幂函数学案 苏教版必修1

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1、3.3　幂函数1．了解幂函数的概念，会画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，的图象．(重点)2．能根据幂函数的图象，了解幂函数的性质．(难点)3．会用几个常见的幂函数性质比较大小．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1　幂函数的概念阅读教材P88开始至例1以上部分，完成下列问题．一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．1．若y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n＝________.【解析】　由题意得所以m＋n＝3.【答案】　32．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2,8)，则f(－2)＝________.【解析】　8＝2α，所以α＝3

2、，所以f(x)＝x3，f(－2)＝(－2)3＝－8.【答案】　－8教材整理2　幂函数的图象和性质阅读教材P88例1～P89，完成下列问题．常见幂函数的图象和性质判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)幂函数的图象不经过第四象限．(　　)(2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1)这两点．(　　)(3)指数函数y＝ax的定义域为R，与底数a无关，幂函数y＝xα的定义域为R，与指数也无关．(　　)【解析】　(1)由幂函数的一般式y＝xα(α为常数)及图象可知，当x>0时，y>0，即图象不经过第四象限．(2)y＝x－1不经过(0,0)点，故错误．(3)y＝x，定义域为[0，＋∞)

3、，与指数有关，故错误．【答案】　(1)√　(2)×　(3)×[小组合作型]幂函数的概念　已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是幂函数，求m，n的值．【精彩点拨】　由幂函数的定义列式求解．【自主解答】　由题意得，解得∴m＝－3，n＝为所求．1．幂函数y＝xα要满足三个特征(1)幂xα前系数为1；(2)底数只能是自变量x，指数是常数；(3)项数只有一项．2．求幂函数解析式时常用待定系数法，即设解析式为f(x)＝xα，根据条件求出α.[再练一题]1．下列函数是幂函数的有________．(填序号)①y＝x2x；②y＝2x2；③y＝x；④y＝x2＋1；⑤y＝－；【解析】　根据幂函数的定

4、义，只有③⑥符合题意．【答案】　③⑥2．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过，则f(100)＝________.【解析】　由题知2α＝＝2，∴α＝－.∴f(x)＝x，∴f(100)＝100＝＝.【答案】　比较大小　比较下列各组数中两个数的大小：【精彩点拨】　可以借助幂函数的单调性或中间量进行比较．【自主解答】　(1)∵y＝是[0，＋∞)上的增函数，且>，(2)∵y＝x－1是(－∞，0)上的减函数，且－<－，∴－1>－1.(4)由幂函数的单调性，知0.20.6<0.30.6，又y＝0.3x是减函数，∴0.30.4>0.30.6，从而0.20.6<0.30.4.比较幂值的大小，关键在

5、于构造适当的函数：(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；(2)若指数不同而底数相同，则构造指数函数．(3)若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量．[再练一题]3．比较下列各组中两个数的大小：【解】　(1)因为函数在(0，＋∞)内是减函数，(2)函数y＝x1.5在(0，＋∞)内是增函数，又a＞0，a＋1＞a，所以(a＋1)1.5＞a1.5.[探究共研型]幂函数的图象与性质探究1　做幂函数y＝的图象应该怎么做？【提示】　①因为0<<1，故函数y＝在第一象限内是单调递增的，并且在(0,1)上应在y＝x的上方，在(1，＋∞)上应在y＝x的下方．②函

6、数的定义域为R，且为偶函数，故将y轴右侧的图象关于y轴对称到y轴左侧，即得到y＝的图象．探究2　从上述过程能否归纳出作幂函数y＝xα的图象的步骤？【提示】　①先看α，按α<0,0<α<1，α>1来分类(α＝0，α＝1两种特殊情况可直接作图)，并确定在第一象限的图象的形状．②再看定义域以及函数的奇偶性，结合奇偶性利用图象变换得到函数在y轴左侧的图象．探究3　作出的图象(草图)，并说明若>时，x，y与0的大小关系有多少种？【提示】　在第一象限内的图象单调递减，且为奇函数，草图如下，从图象可以看出，则有以下情况①00>y.　已知幂函数y＝x3m－9(m∈

7、N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋1)<(3－2a)的a的取值范围．【精彩点拨】　据题中条件→列出不等式组→求出m→利用幂函数的单调性→对底数分类讨论→得a【自主解答】　∵函数在(0，＋∞)上递减，∴3m－9<0，解得m<3.又m∈N*，∴m＝1,2.又函数图象关于y轴对称，∴3m－9为偶数，故m＝1.∴a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a，或a＋1<0<3－2a，解得