5.d4_5极值与最值

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1、1第五节第四章函数的极值与最大值最小值一、函数的极值及其求法二、最大值与最小值问题华中科技大学管理学院机动目录上页下页返回结束2一、函数的极值及其求法定义:在其中当时,(1)则称为的极大点,称为函数的极大值;(2)则称为的极小点,称为函数的极小值.极大点与极小点统称为极值点.华中科技大学管理学院机动目录上页下页返回结束3例如y32f(x)2x9x12x32为极大点,是极大值1为极小点,是极小值o12x注意:1)函数的极值是函数的局部性质.2)对常见函数,极值可能出现在导数为0或不存在的点.(极值的必要条件)yx,x为极大点14x,x为极小点25x

2、不是极值点3oax1x2x3x4x5bx华中科技大学管理学院机动目录上页下页返回结束4定理1(极值第一判别法)设函数f(x)在x的某邻域内连续,且在空心邻域0内有导数,当x由小到大通过x时,0(1)f(x)“左正右负”,则f(x)在x取极大值.0(2)f(x)“左负右正”,则f(x)在x取极小值;0点击图中任意处动画播放暂停华中科技大学管理学院机动目录上页下页返回结束5证明：只证明极小值的情况。若f(x)在x0的两侧左负右正，则f(x)在x0左侧邻近单调减，有f(x)f(x);0在x0的右侧邻近单调增，有f(x)f(x0),所以f(x0)是极

3、小值。华中科技大学管理学院6例1.求函数的极值.21x2解:1)求导数f(x)x3(x1)2x355333x2)求极值可疑点令f(x)0,得x2;令f(x),得015x23)列表判别x(,0)0(0,2)2(2,)555f(x)0f(x)00.33是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为华中科技大学管理学院机动目录上页下页返回结束7定理2(极值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.f(x)f(x0)f(x)证:(1)f(x0)limlimxx0xx0xx0x

4、x0由f(x0)0知,存在0,当0xx0时,故当xxx时，f(x)0;00当xxx时，f(x)0,00x0x0x0由第一判别法知f(x)在x0取极大值.(2)类似可证.华中科技大学管理学院机动目录上页下页返回结束8例2.求函数的极值.解:1)求导数2222f(x)6x(x1),f(x)6(x1)(5x1)2)求驻点令f(x)0,得驻点x1,x0,x11233)判别因f(0)60,故为极小值;又f(1)f(1)0,故需用第一判别法判别.y11x华中科技

5、大学管理学院机动目录上页下页返回结束9例3:由参数方程确定,求解:华中科技大学管理学院机动目录上页下页返回结束10定理3(判别法的推广)(n)数,且f(x0)0,则:1)当n为偶数时,为极值点,且是极小点;是极大点.2)当n为奇数时,不是极值点.证:利用在点的泰勒公式,可得当充分接近时,上式左端正负号由右端第一项确定,故结论正确.华中科技大学管理学院11例如,例2中y2f(x)24x(5x3),f(1)0所以不是极值点.x11说明:极值的判别法(定理1~定理3)都是充分的.当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在.例如:f(0)

6、2为极大值,但不满足定理1~定理3的条件.华中科技大学管理学院机动目录上页下页返回结束12二、最大值与最小值问题则其最值只能在极值点或端点处达到.求函数最值的方法:(1)求在内的极值可疑点(2)最大值Mmaxf(a),f(b)最小值华中科技大学管理学院机动目录上页下页返回结束13特别:•当在内只有一个极值可疑点时,若在此点取极大(小)值,则也是最大(小)值.•当在上单调时,最值必在端点处达到.•对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.华中科技大学管理学院机动目录上页下页返回结束14例4.求函数在闭区间上的最大值和最小

7、值.解:显然且321x0(2x9x12x),42x39x212x,0x5112524226(x1)(x2),1x06x18x124f(x)256x18x126(x1)(x2),0x22f(x)x(2x9x12)x0,x1,x21232(9)42128196025故函数在x2x0取最小值9x120;0在x1及2取最大值5.华中科技大学管理学院机动目录上页下页返回结束15例4.求函数在闭区间上的最大值和最小值.说明:2令(x)f(x)由于(x)与

8、f(x)最值点相同,因此也可通过(x)求最值点.(自己练习)华中科技大学管理学