教案极值与最值

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1、西安交通工程学院校级课题《高职学生高等数学应用能力的培养与研究》时间---------月---------日星期-----------------课题§3.5函数的极值与最值教学目的1、使学生理解函数极值的概念，掌握求函数极值的方法。2、使学生掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。教学重点求函数的极值教学难点求函数的极值课型基础课备课组教法选择讲授教学过程教法运用及板书要点引言：复习函数单调性判别法讲解新课：一、函数的极值及其求法上节[例3]中，用X=-1，和X=1两点将的定义域（-∞，+∞）分为三小区间（-∞，-1），[-

2、1，1]，，使用分别在这三个小区间上单减，单增，单减（见图），从图中不难看出，在X=-1的一个较小范围内，在X=1点的最小区间都是虑的局部情况，而不是整体，这就是将讨论的极值。定义1：设函数在点的某邻域上有定义，若对有，（）则称是的极大值点（极小值点），就是的极大值（极小值）。函数的极大值与极小值统称为函数的极值,使函数取得极值的点称为极值点.说明：函数的极大值和极小值概念是局部性的.如果是函数的一个极大值,那只是就附近的一个局部范围来说,是的一个最大值;如果就的整个定义域来说,不一定是最大值.对于极小值情况类似.极值与水平切线

3、的关系:在函数取得极值处,曲线上的切线是水平的.但曲线上有水平切线的地方,函数不一定取得极值.由费马引理可得定理1（极值的必要条件）：若函数在点可导，且点取得7/7西安交通工程学院《高等数学》课程建设组西安交通工程学院校级课题《高职学生高等数学应用能力的培养与研究》极值，则。注：1、一般地，在处有，就称为的驻点或稳定点，上定理1即是可导函数的极点必为驻点。2、驻点未必是极点，及例：在=0处的情况。3、定理1只对可导函数而言，对导数不存在的点，函数也可能取及极值，例：=∣x∣，在x=0点的导数不存在，但取得极小值。如何判别在x0点

4、取得极值，有下二个定理：定理2（第一充分条件），若函数在内可导，且。1)若当时而时则是极大值。2)若当时而时则是极小值。3)若当及时均有（或均有），则不是极值。注：定理条件改为：若函数在可导（可以不存在），其他条件不变定理也成立。求极值的步骤：1）求出导数；2）求出的全部驻点和不可导点；3）按照定理2考察每个驻点和不可导点左右两侧导数的符号，确定是否为极值点。4）求出各极值点处的函数值，即得的全部极值。【例1】求函数的极值.解(1)f(x)在(-¥,+¥)内连续,除x=-1外处处可导,且;(2)令f¢(x)=0,得驻点x=1;x

5、=-1为f(x)的不可导点;(3)列表判断x(-¥,-1)-1(-1,1)1(1,+¥)f¢(x)+不可导-0+f(x)↗0↘↗(4)极大值为f(-1)=0,极小值为.当在驻点处的二阶导数存在且不为零时，则有以下定理：7/7西安交通工程学院《高等数学》课程建设组西安交通工程学院校级课题《高职学生高等数学应用能力的培养与研究》定理3（第二充分条件）设在的某邻域内一阶可导，在处具有二阶导数，且，，那么1）若，则在点取得极大值；2）若，则在点取得极小值。证明在情形(1),由于f¢¢(x0)<0,按二阶导数的定义有.根据函数极限的局部保

6、号性,当x在x0的足够小的去心邻域内时,.但f¢(x0)=0,所以上式即.从而知道,对于这去心邻域内的x来说,f¢(x)与x-x0符号相反.因此,当x-x0<0即x0;当x-x0>0即x>x0时,f¢(x)<0.根据定理2,f(x)在点x0处取得极大值.类似地可以证明情形(2).定理3表明,如果函数f(x)在驻点x0处的二导数f¢¢(x0)¹0,那么该点x0一定是极值点,并且可以按二阶导数f¢¢(x0)的符来判定f(x0)是极大值还是极小值.但如果f¢¢(x0)=0,定理3就不能应用。【例2】求函数的极值。

7、解：，令，可得；由于，由定理3可知在处取得极小值，极小值为0；由于，定理3不能应用，但是在处左右两值不变号，所以由定理2可知，在处没有极值（如P158：图3-15）。【例3】讨论的极值点。解：，可见在内可微，且无驻点，也无使不存在的点，所以此函数无极值。二、最大值最小值问题在工农业生产、工程技术及科学实验中,常常会遇到这样一类问题:在一定条件下,怎样使“产品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等问题,7/7西安交通工程学院《高等数学》课程建设组西安交通工程学院校级课题《高职学生高等数学应用能力的培养与研究》这类问题在

8、数学上有时可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题.极值与最值的关系:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则函数的最大值和最小值一定存在.函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得,如果最大值不在区间的端点取得,则必在开区间(a,b)内取得