2008年高考文科数学试题(陕西卷)

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2008年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）文科数学（必修+选修Ⅰ）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．1．等于（）A．B．C．D．2．已知全集，集合，，则集合（）A．B．C．D．3．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（）A．30B．25C．20D．154．已知是等差数列，，，则该数列前10项和等于（）A．64B．100C．110D．1205．直线与圆相切，则实数等于（）A．或B．或C．或D．或6．“”是“对任意的正数，”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．已知函数，是的反函数，若（），则的值为（）A．10B．4C．1D．8．长方体的各顶点都在半径为1的球面上,其中,则两点的球面距离为()A．B．C．D． 9．双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．如图，到的距离分别是和，与所成的角分别是和，在内的射影分别是和，若，则（）A．B．C．D．11．定义在上的函数满足（），，则等于（）A．2B．3C．6D．912．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为（），传输信息为，其中，运算规则为：，，，，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010B．01100C．10111D．00011二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）．13．的内角的对边分别为，若，则．14．的展开式中的系数为．(用数字作答)15．关于平面向量．有下列三个命题：①若，则．②若，，则．③非零向量和满足，则与的夹角为． 其中真命题的序号为．（写出所有真命题的序号）16．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有种．（用数字作答）．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）17．（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期及最值；（Ⅱ）令，判断函数的奇偶性，并说明理由．18．（本小题满分12分）一个口袋中装有大小相同的2个红球,3个黑球和4个白球,从口袋中一次摸出一个球,摸出的球不再放回.（Ⅰ）连续摸球2次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率；（Ⅱ）如果摸出红球,则停止摸球,求摸球次数不超过3次的概率．19．（本小题满分12分）三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，，平面，，，为中点． （Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求二面角的大小．20．（本小题满分12分）已知数列的首项，，…．（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）数列的前项和．21．（本小题满分12分）已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 22．本小题满分14分）设函数其中实数．（Ⅰ）若，求函数的单调区间；（Ⅱ）当函数与的图象只有一个公共点且存在最小值时，记的最小值为，求的值域；（Ⅲ）若与在区间内均为增函数，求的取值范围．参考答案及评分标准一、选择题1．B2．D3．C4．B5．A6．A7．D8．C9．B10．D11．A12．C二、填空题13．14．8415．②16．96三、解答题17．解：（Ⅰ）．的最小正周期．当时，取得最小值；当时，取得最大值2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又． ．∵．函数是偶函数．18．解：（Ⅰ）从袋中依次摸出2个球共有种结果，第一次摸出黑球、第二次摸出白球有种结果，则所求概率．（Ⅱ）第一次摸出红球的概率为，第二次摸出红球的概率为，第三次摸出红球的概率为，则摸球次数不超过3次的概率为．19．解法一：（Ⅰ）∵平面平面，∴．在中，，D为BC中点，∴BC⊥AD，又∴BC⊥平面A1AD，又∴平面平面． （Ⅱ）如图，作交于点，连接，由已知得平面．是在面内的射影．由三垂线定理知，为二面角的平面角．过作交于点，则，，．在中，．在中，．，即二面角为． 解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，则，∵D为BC的中点，∴D点的坐标为（1，1，0）∴∵∴，，又，∴平面，又平面，∴平面平面．（Ⅱ）∵平面，如图，可取为平面的法向量，设平面BC的法向量为，则∴∴，如图，可取，则，，∴二面角为． 20．解：（Ⅰ）∵，，，又，，数列是以为首项，为公比的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，．设…，①则…，②由①②得…，．又…．数列的前项和．21.解法一：（Ⅰ）如图，设，，把代入得，由韦达定理得，， ，点的坐标为．设抛物线在点处的切线的方程为，将代入上式得，直线与抛物线相切，，．即．（Ⅱ）假设存在实数，使，则，又是的中点，．由（Ⅰ）知．轴，．又．，解得．即存在，使．解法二：（Ⅰ）如图，设，把代入得 ．由韦达定理得．，点的坐标为．，，抛物线在点处的切线的斜率为，．（Ⅱ）假设存在实数，使．由（Ⅰ）知，则，，，解得．即存在，使．22．解：（Ⅰ）∵，又， 当时，；当时，，在和内是增函数，在内是减函数．（Ⅱ）由题意知，即恰有一根（含重根）．≤，即≤≤，又，．当时，才存在最小值，．∵，．的值域为．（Ⅲ）当时，在和内是增函数，在内是增函数．由题意得，解得≥；当时，在和内是增函数，在内是增函数．由题意得，解得≤；综上可知，实数的取值范围为．