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1、目录1课程设计目的12课程设计要求13正交变换的概述13.1信号的正交分解13.2正交变换的定义23.3正交变换的分类23.4正交变换的标准基33.4.1一维DFT的标准基33.4.2二维DFT53.4.3正交变换的标准基图像63.5正交变换在图像处理中的应用74傅里叶变换84.1傅里叶变换的定义及基本概念94.2傅里叶变换代码134.3傅里叶变换与逆变换结果145离散余弦变换145.1离散余弦变换的定义145.2离散余弦变换代码175.3离散余弦变换与逆变换结果176小波变换186.1概述186.2小波变换的基本理论186.3小波变换代码206.4小波变换结果217结论2
2、18参考文献22图像处理中正交变换方法对比1课程设计目的(1)理解正交变换的基本概念及分类。(2)掌握傅立叶变换及逆变换的基本原理方法。(3)掌握离散余弦变换的基本原理方法。(4)掌握小波变换的基本原理及方法。(5)学会利用matlab软件进行数字图像处理与分析2课程设计要求（1）掌握课程设计的相关知识、概念清晰。（2）查阅资料，根据不同处理需求，设计完成对数字图像的处理与分析。（3）熟练掌握matlab软件的基本操作与处理命令。（4）进一步理解数字图像处理与分析的过程与意义。3正交变换的概述3.1信号的正交分解完备的内积空间称为希尔伯特空间。折X为一希尔伯特空间,φ1,φ
3、2,⋯,φn是X空间中的一向量,如果它们是线性独立的,则称之为空间X中的一组“基”。某一信号x就可以按这样的一组基向量作分解,即X=（式3-1）式（3-1）中a1,a2,⋯,an是分解系数,它们是一组离散值。假设φ1,φ2,⋯,φn是一组两两互相正交的向量,则式(3-1)称为x的正交展开,或正交分解。系数a1,a2,⋯,aN是x在各个基向量上的投影,若N=3,其含义如图3-1所示。21图3-1信号的正交分解3.2正交变换的定义一维序列可以表示成一个N维向量其酉变换可以表示为或，其中变换矩阵A满足（酉矩阵），若A为实数阵，则满足，称为正交阵。向量由此，U可以表示为或可知，给定
4、基向量，原序列f（x）可以由一组系数g（u）（）表示，这组系数（变换）可以用于滤波，数据压缩，特征提取等。若矩阵满足：则矩阵A就成为正交矩阵。对于某向量f，用上述正交矩阵进行运算：若要恢复f，则以上过程称为正交变换（酉变换）。213.3正交变换的分类正交变换总的可分为两大类,即非正弦类正交变换和正弦类正交变换。我们经常使用的离散傅立叶变换(DFT)、离散余弦变换(DCT)、离散正弦变换(DST)等属于正弦类变换,其中还包括离散Hartley变换(DHT)及离散W变换(DWT)等。非正弦类变换包括Walsh—Hadamard变换(WHT)、Haar变换(HRT)等。由于正弦类
5、变换在理论价值和应用价值上都优于非正弦类变换,从而在正交变换中占据主导地位。除了正弦类和非正弦类正交变换,还有两种特殊的正交变换,K-L变换和正交小波变换。K-L变换去除信号中的相关性最彻底,且有着最佳的统计特性,被称为最佳变换。但是K-L变换的基函数依赖与原始数据,没有固定的变换核,限制了它的普遍应用。小波变换能够具有很高的时频分辨率,进行局部化分析,通过伸缩平移运算对信号进行多尺度细化,达到高频处时间细分,低频处频率细分。但是小波正交基的结构复杂,具有紧支集的小波正交基不可能具有对称性。随着小波理论及算法的成熟,必将大有作为。3.4正交变换的标准基傅立叶变换是正交变换中
6、最常用的变换,以它为例来讨论正交变换标准基具有普遍意义。3.4.1一维DFT的标准基首先从傅立叶级数进行考虑。假设函数f(t)满足收敛定理,则函数f(t)的傅立叶级数为（式3-2）a0,a1,b1,⋯是函数f(t)的傅立叶系数。例如,一矩形波f(t)是周期为2π的周期函数,在[-π,π]上21-1-≤t＜0（式3-3）10≤t＜由下式求得傅立叶系数,（式3-4）得到矩形波f（t）的傅立叶级数展开为:=（式3-5）上面得到的展开式表明:矩形波是由一系列不同频率的正弦波乘以一个权值叠加而成。这些波的频率依次为基波频率的奇数倍。可以看到,求傅立叶系数的过程相当于傅立叶变换的过程,
7、把原始信号展开,相当于傅立叶逆变换的过程。实际上,“任意”满足收敛的一个波、一个信号都可以分解成无穷多个不同频率的信号。这里说的这些无穷多的不同频率的信号就是标准基波。在DFT中也是类似的意思。假设有限长序列f(x)(x=0,1,⋯,N-1),一维DFT变换对如下:其中称为变换核。将式（6）写成矩阵形式F=W·f即: W是正交变换矩阵,矩阵元素是变换核函数不同次幂构成。W是正交矩阵,有W-1=WT。可以看出F(u)是角频率为2πu/N信号的加权系数,也就是它在原始信号中分量的大小。如此诸多标准基波乘以其各自系数再求
