图象处理中的正交变换

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1、第四章图象处理中的正交变换空域处理法频域（变换域）处理法在频域处理中最为关键的预处理就是变换处理。这种变换一般是线性变换，其基本线性运算式是严格可逆的，并且满足一定的正交条件。在图象处理中正交变换被广泛应用于图象特征提取、图象增强、图象复原、图象识别、图象编码等处理中。本章的几个重要问题空间域图像变换到频域的具体实现（图像离散傅立叶变换与反变换公式）频域图像的表达特点与理解（经中心变换后，低频在内，高频在外）对频域低通滤波的理解对频域高通滤波的理解频域变换:理论基础理论基础线性系统卷积与相关线性系统线性系统系统的定义：接受一个输入，并产生相应输出的任

2、何实体。系统的输入是一个或两个变量的函数，输出是相同变量的另一个函数。x(t)输入系统y(t)输出线性系统线性系统的定义：对于某特定系统，有：x1(t)y1(t)x2(t)y2(t)该系统是线性的当且仅当：x1(t)+x2(t)y1(t)+y2(t)从而有：a*x1(t)a*y1(t)线性系统线性系统平移不变性的定义：对于某线性系统，有：x(t)y(t)当输入信号沿时间轴平移T，有：x(t-T)y(t-T)则称该线性系统具有平移不变性卷积卷积卷积的定义离散一维卷积二维卷积的定义离散二维卷积卷积的定义对于一个线性系统的输入f(t)和输出h(t)，如果有

3、一个一般表达式，来说明他们的关系，对线性系统的分析，将大有帮助卷积积分就是这样的一般表达式h(t)=g(t-)f()d记为：h=g*f-g(t)称为冲激响应函数离散一维卷积h(i)=f(i)*g(i)=f(j)g(i-j)j二维卷积的定义h(x,y)=f*g=f(u,v)g(x–u,y–v)dudv-离散二维卷积h(x,y)=f*g=f(m,n)g(x–m,y–n)mn傅立叶变换周期函数可以表示为不同频率的正弦和/或余弦和的形式非周期函数可以用正弦和/或余弦乘以加权函数的积分来表示—这种情况下的公式就是傅立叶变换傅立叶变换一

4、维连续傅立叶变换：几个概念假设函数f(x)为实函数。但一个实函数的傅立叶变换可能为复函数：F(u)=R(u)+jI(u)（1）傅立叶变换的幅度或频率谱：

5、F(u)

6、=[R2(u)+I2(u)]1/2（2）傅立叶变换的功率谱/能量谱：P(u)=

7、F(u)

8、2=R2(u)+I2(u)傅立叶变换傅立叶变换一维连续傅立叶变换：几个概念（3）傅立叶变换的相位谱：(u)=tan-1(I(u)/R(u))（4）傅立叶变换中的变量u通常称为频率变量这个名称源于欧拉公式中的指数项exp[-j2ux]=cos2ux-jsin2ux（exp[ja]=cosa-js

9、ina）如果把傅立叶变换的积分解释为离散项的和，则易推出F(u)是一组sin和cos函数项的无限和，其中u的每个值决定了其相应cos,sin函数对的频率。先以一维为例：傅立叶变换二维傅立叶变换的性质2.平移性移中性直接变换：原图像f（x，y）FT能量分布于四角（示意图）移中的变换：移中FT能量集中于中心（示意图）傅立叶变换二维傅立叶变换的性质2.平移性频域图像（幅度谱）原图像幅度谱（频率谱）中每一点(u,v)的幅度

10、F(u,v)

11、可用来表示该频率的正弦（余弦）平面波在叠加中所占的比例。均值性均值性的描述：离散函数的均值等于该函数傅立叶变换在(0,0)

12、点的值M-1N-1F(0,0)=1/MNf(x,y)e0x=0y=0周期与共轭对称周期性的描述：离散傅立叶变换DFT和它的逆变换是以N为周期的对于一维傅立叶变换有：F(u)=F(u+N)对于二维傅立叶变换有：F(u,v)=F(u+M,v+N)周期与共轭对称共轭对称性的描述：傅立叶变换结果是以原点为中心的共轭对称函数对于一维傅立叶变换有：F(u)=F*(-u)对于二维傅立叶变换有：F(u,v)=F*(-u,-v)*表示对于复数的标准共轭操作快速傅立叶变换（FFT）及编程实现离散余弦变换沃尔什变换哈尔函数及哈尔变换斜矩阵与斜变换小波变换快速算法（Ma

13、llat算法）频域增强频域增强的理论基础卷积理论被处理图象f(x,y)变换函数h(x,y)/*线性、位置无关操作目标图象g(x,y)有卷积：g(x,y)=h(x,y)*f(x,y)有等式：G(u,v)=H(u,v)F(u,v)有等式：g(x,y)=F-1[H(u,v)F(u,v)]频域增强的原理频率平面与图象空域特性的关系图象变化平缓的部分靠近频率平面的圆心，这个区域为低频区域图象中的边、噪音、变化陡峻的部分，以放射方向离开频率平面的圆心，这个区域为高频区域频域增强的原理变化平缓部分边、噪音、变化陡峭部分uv频域增强的处理方法对于给定的图象f(x,y

14、)和目标，用（-1）x+y*f(x,y)进行中心变换计算出它的傅立叶变换F(u,v)选择一个变换函数H(u,