图像正交变换.ppt

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1、数字图像处理第4章图像变换(ImageTransform)4.1傅立叶变换简介4.2傅里叶变换理论4.3快速傅里叶变换4.4傅里叶变换的性质4.5图像傅里叶变换实例4.6其他离散变换线性系统理论通常用于描述电路和光学系统的行为，为采样、滤波等提供坚实的数学基础。一、定义系统：对信号施以的一种变换。可以是电路系统、光学系统甚至其他一切对信号影响的实体。线性移不变系统：具有线性和移不变特性的系统。二、研究线性系统的两种方法1、任何一个系统都有一个传递函数，它与调谐输入相乖得到对应的调谐输出。2、任何一个系统都有一个实值的冲激响应，它与输入信

2、号的卷积给出对应的输出。简介1、背景1768年出生于法国。傅立叶的思想：1807年，向法国科学院提交报告：任何周期函数都可以用一系列正弦波来表示。信号的分解一、图象变换的引入1.方法：对图象信息进行变换，使能量保持但重新分配。2.目的：有利于加工、处理[滤除不必要信息(如噪声)，加强/提取感兴趣的部分或特征]。二、方法分类可分离、正交变换:2D-DFT,2D-DCT,1．提取图象特征（如）：（1）直流分量：f(x,y)的平均值=F(0,0)；（2）目标物边缘：F（u,v）高频分量。2．图像压缩：正交变换能量集中，对集中（小）部分进行

3、编码。3．图象增强：低通滤波，平滑噪声；高通滤波，锐化边缘。三、用途2D-DHT,2D-DWT。傅立叶变换作用连续周期函数的傅立叶级数及非周期信号的傅立叶变换ancos(n)bnsin(n)g()cos(n)dg()sin(n)d一、连续周期函数的傅立叶级数周期为2π周期为2π的函数g(θ)，若在一个周期内只有有限个极值点和不连续点，并且在一个周期内绝对可积，则它可以展成傅里叶三角级数：其中：n1a02g()anbn11222ancosna0xbnsin

4、nTxTx02xdx周期为T周期为T的函数将它展开成傅立叶三角级数时展开式，只是要根据对应关系将θ换算成x，它们之间的换算关系是，x所以有g(x)2n1TT其中：bng(x)sinnT2x0T1mdxmd0xd0d2d2、举例有一缝宽和缝距相等的矩形光栅，振幅透过率为：其中，m为整数，将它展开成傅立叶三角级数。函数图形如下所示：g(x)其它d2g(x)2sin(2k1)x、sin2πx、sin6πx、sin10πx、取前项：绘图如下：sin14πx27π2

5、5π1222π3π解：g(x)xbnsinnx2n1dd2d21n0g(x)cosndg(x)sinnxdxsinnxdxdddd1n2,4,6,...2k其中k=0,1,2,…。于是：12g(x)2dk0(2k1)Cnex3、指数形式通过欧拉公式，把正弦函数、余弦函数和指数函数联系起来，不难证明傅里叶三角级数可以写成指数级数的形式。若g(x)的周期为T，在一个周期内只有有限个极值点和不连续点，并且在一个周期内绝对可积。则g(x)可以展开成傅立叶指数级数：

6、其中：nxjn2Tg(x)xjndxCnx0T0g(x)e1T2TTx0g(x)dx0Tx0xg(x)cos(nx)dx1x0Tx0g(x)edxxg(x)cos(nx)dx证明如下：取n为任一正整数a21x0TC0xjndxCng(x)e1x0T2T1Tanjbn2x)jsin(nx0T02T2TT2jnxTCn1Tanjbn2x)jsin(nx0T02T2TCe22C0CneTCne2ancos

7、nxbnsinnxjnxn2Tng(x)jnxjnxTn1cosnxjsinnxn12TT即：得证。n1Ta022T傅立叶级数事实上周期函数只是数学上的描述，对于一切物理过程严格来说都是非周期的。有些物理过程可以用周期函数来近似描述，象前面介绍的矩形光栅的例子，只有当光栅常数ｄ比光栅总宽度小得多的时，也就是总缝数很大时才可以用周期函数来描写这种光栅，当然这种描写仍是近似的。还有相当多的物理现象，只发生在有限的空间范围和时间间隔内，这样的现

8、象对于空间和时间来说是非周期的。对于大量非周期函数的展开，首先可以以它有非零值的范围（空间范围或时间间隔）为周期，将它延拓成为周期函数。右图中g(x)为非周期函数：T2T2当xT,T