§4 正交变换.ppt

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1、§4正交变换定义9欧氏空间V的线性变换A称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即对于任意的都有正交变换的充分必要条件定理4设A是n维欧氏空间V的一个线性变换，于是下面四个命题是相互等价的：1）A是正交变换，即保内积；2）A保持向量的长度不变，即对于3）如果是标准正交基，则也是标准正交基，即A将标准正交基变成标准正交基；4）A在任一标准正交基下的矩阵是正交矩阵.证明：首先证明1）与2）等价.如果A是正交变换，则对于故对于于是将最后的等式展开即得再利用即得再来证明1）与3）等价.设是一组标准正交基，则由此可知，也是标准正

2、交基.设是一组标准正交基，则也是一组标准正交基，于是对于设则于是即A为正交变换.最后证明3）与4）等价设是一组标准正交基，则也是一组标准正交基，而A在下的矩阵为A，即则A即为由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵，由此可知A为正交阵.由上述分析可知，如果A为正交矩阵，则由（1）（1）式所确定的为标准正交基.注1因为正交矩阵是可逆的，所以正交矩阵是可逆的.由定义不难看出，正交变换实际上就是一个欧氏空间到它的自身同构映射.注2在标准正交基下，正交变换与正交矩阵对由此可知，可由正交变换的性质得到一些正交矩阵的的性质：应.1）正交

3、矩阵的逆仍是正交矩阵；2）两个正交矩阵的乘积仍是正交矩阵.正交矩阵（正交变换）的分类及其几何意义若A是正交矩阵，则由可知即若

4、A

5、=1，则称相应的正交变换为旋转，或者称为第一类的；若

6、A

7、=－1，则称相应的正交变换为第二类的.以三维几何空间为例，我们知道可以建立两种直角坐标系，右手系的或左手系的.先来看右手直角坐标系的概念，所谓建立直角实际上就是先选取一定点O，再选取三个两两正交的单位向量坐标，使之满足右手法则.然后定义向量的坐标，而向量的坐标实际上就是在基下的坐标.而显然就是一组标准正交基，选取另外三个两两正交的单位

8、向量若从基到基的过渡矩阵A的行列式等于1，则以建立的直角坐标系是右手系的.若从基到基的过渡矩阵A的行列式等于－1，则以建立的直角坐标系就是左手系的.不难利用向量的向量积或混合积验证：三维几何空间中的右手系和左手系的概念可以广到一般n维欧氏空间中，只是没有了右手法则和左手法则这样直观的表示.于是我们就直接按过渡矩阵的行列式列的符号（即等于+1还是－1）对n维欧氏空间中的的标准正交基进行分类.欧氏空间（也可用于线性空间）中所有的基分为两类：先选取一组基，凡是与它的过渡矩阵大于零的基属于一类，反之，与它的过渡矩阵小于零的基属

9、于另一类.例在欧氏空间中任取一组标准正交基定义线性变换A为则A就是一个第二类的正交变换.从几何上看，这个一个镜面反射.