4_5用正交变换化二次型为标准形.ppt

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1、定理2对于线性无关的向量组a1,a2,,am，令则向量组b1,b2,,bm是正交向量组，且两向量组等价.下页施密特正交化方法由变量y1,y2,…,yn到x1,x2,…,xn的线性变换若

2、P

3、≠0，则上述线性变换称为可逆(满秩)线性变换.记作X=PY.问题：如何找一个可逆线性变换X=PY，使得将其代入二次型后，得到新的二次型只含变量的平方项的形式(标准形).化二次型为标准形下页现将X=PY代入二次型，得上式右端是关于变量y1,y2,…,yn的二次型.比较两端得那么，这个P存在吗？下页分析：①若A有n个线性无关的特征

4、向量x1,x2,…,xn，令P=(x1,x2,…,xn),则有P-1AP=L；②若x1,x2,…,xn已是标准正交向量组，则P为正交矩阵，于是P-1AP=PTAP=L.问题最终归结为：方阵A是否有n个标准正交的特征向量.设其化成了标准形：4.5用正交变换化二次型为标准形一、正交变换二、利用正交变换化二次型为标准形下页5.1正交变换的概念与性质定义1设P为n阶正交矩阵，X,Y是都是n维向量，称线性变换性质1正交变换是可逆线性变换；性质2正交变换不改变向量的内积.下页X＝PY为正交变换.正交变换的概念正交变换的性质证明：因为5.

5、2实对称矩阵的性质定理2实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的.定理1实对称矩阵的特征值是实数；实对称矩阵A的ri重特征值li对应ri个线性无关的特征向量.下页定理3设A为n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P使其中为A的n个特征值，正交矩阵P的n个列向量是矩阵A对应于这n个特征值的标准正交的特征向量.5.3用正交变换化二次型为标准形（要求：熟练掌握！）(1)写出二次型的矩阵形式；(2)求出A的全部特征值l1,l2,…,ln；(3)对每一个特征值li,解方程(liE-A)X=o,求出基础解系，然后用施密特正交化方法将其正交化

6、，再标准化；(4)将所有经过正交化标准化的特征向量作为列向量构成一个矩阵就得到了正交矩阵P，所求的正交变换为X＝PY；(5)所求二次型的标准形为下页例1.用正交变换化下列二次型为标准形．解:二次型的f系数矩阵为矩阵A的特征方程为解得l1=-2,l2=l3=7．下页对于l1=-2，解方程组(-2E-A)X=o,得基础解系将其正交化得将其单位化得将其单位化得得基础解系下页解得l1=-2,l2=l3=7．对于l2=l3=7，解方程组(7E-A)X=o,例1.用正交变换化下列二次型为标准形．令则通过正交变换下页例1.用正交变换化下列

7、二次型为标准形．将二次型f化为标准形例2.已知二次型通过正交变换X=PY化为标准形变换矩阵P．解：f的系数矩阵A及标准形的系数矩阵分别为由已知条件得即4(9-a2)=32，解得a=1,a=-1(舍去).由A相似于对角阵Λ，得A的特征值为l1=2，l2=l3=4．对于l1=2，解方程组(2E-A)X=o,得基础解系下页故A相似于对角阵Λ，所以有｜A｜＝｜Λ｜求a及正交把x1单位化，得对应于l1=2的单位特征向量对于l2=l3=4，解方程组(4E-A)X=o,（注意求基础解系的过程）4E-A4-40000-14-304-30-1

8、0000-1101-100000100-1下页例2.已知二次型通过正交变换X=PY化为标准形变换矩阵P．求a及正交4E-A4-40000-14-304-30-10000-1101-1000100-10000000100-1(4E-A)Xo的一般解为x2=0x1+x3,其基础解系为下页例2.已知二次型通过正交变换X=PY化为标准形变换矩阵P．求a及正交所求的正交矩阵为下页000100-100(4E-A)Xo的一般解为x2=0x1+x3,其基础解系为例2.已知二次型通过正交变换X=PY化为标准形变换矩阵P．求

9、a及正交将x2,x3正交化标准化得例3.已知二次型通过正交变换X=PY化为标准形,求a,b的值及正交及正交变换矩阵P．由A相似于对角阵Λ,得A的特征值为l1=0,l2=1,l3=4．对于l1=0,解方程组(0E-A)X=o,得基础解系下页由已知条件得故A相似于对角阵Λ，所以｜A｜＝｜Λ｜Tr(A)=Tr(Λ),解得即解：f的系数矩阵A及标准形的系数矩阵分别为把x1单位化，得对应于l1=0的单位特征向量类似可得对应于l２=１的单位特征向量为对应于l３=４的单位特征向量为所求的正交矩阵为下页例3.已知二次型通过正交变换X=PY化

10、为标准形,求a,b的值及正交及正交变换矩阵P．作业：122页7(2)(3)结束