用正交变换化二次型为标准型

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1、第三节用正交变换化二次型为标准形第六章1.正交变换法2.小结3.思考与练习一、正交变换法定义.定理.使得-2--3-用正交变换化二次型为标准形的步骤则为正交矩阵,且-4-例2.求一个正交变换化为标准形,并求正交变换矩阵.解：把二次型二次型的矩阵为：其特征多项式为：-5-(1)求的特征值：把第2,3,4列都加到第1列上,有把第2,3,4行分别减去第1行,有-6-按第1列展开按最后1行展开,得于是，的特征值为：-7-(2)求的特征向量：解方程组得基础解系为：得基础解系为：解方程组将Schmidt正交化得正交向量组：-8

2、-将单位化得：-9-于是，正交矩阵为所以，原二次型在正交变换下可化为标准形：-10-例3.用正交变换将二次型化为标准形,并求正交变换矩阵.解：二次型的矩阵为：对应的线性无关的特征向量为-11-将单位化得：于是，正交矩阵为：所以，原二次型在正交变换下可化为标准形：-12-用正交变换化实二次型为标准形(主轴定理),它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论。即将二次曲线和二次曲面的方程变形(化为标准形方程),选有主轴(正交矩阵的列向量)方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状。例如,画图步骤：(1)令特征值和对应的正交单位

3、特征向量为二次型的矩阵为：用正交变换化实二次型为标准形的应用-13-所以，正交矩阵为：且在正交变换x=Ty下,原二次型化为标准形：因此双曲线的图形为以方向为主轴方向的双曲线,即标准位置双曲线的旋转-14--15-图形(如下图所示)。-16-用正交变换化二次型为标准形的步骤：为正交矩阵。1.求一正交变换,将二次型化为标准形,并求正交变换矩阵.解：二次型的矩阵为：-17-对于特征向量为：对于特征向量为：将单位正交化得：-18-于是，正交矩阵为：所以，原二次型在正交变换下可化为标准形：-19-