第三节-正交变换法化二次型为标准型..ppt

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1、第三节正交变换法化二次型为标准形正交变换：标准正交基到标准正交基的坐标变换(可逆的线性变换)X=CY，其中C是正交矩阵.用正交变换X=CY化二次型为标准形的问题，等价于求正交矩阵C,使得：此式表明，当C为正交矩阵时，由上式所得的对角矩阵既与A合同，又与A相似，且对角线元素全是A的全部特征值。由第五章矩阵可以相似对角化的条件，只要说明矩阵A的特征值都是实数，且一定有n个特征向量组成的标准正交组,则问题就可以得到完全解决.定理1n阶对称矩阵的特征值必为实数.定理1的意义证明：于是有两式相减，得由定理1和定理2可得:

2、n阶对称矩阵A一定有n个线性无关的实特征向量，从而它必相似于对角矩阵.现须说明，一定存有A的n个特征向量组成的标准正交组，为简化计算，先看下面的定理：于是由定理3，结合矩阵相似对角化的理论，可得以下定理4：对角线元素是矩阵A的全部特征值.二次项系数是矩阵A的全部特征值.利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：注：(1)求出特征值后，正交对角化后的矩阵已经确定;(2)每次只需对同一特征值的特征向量正交化即可.(3)每一特征值的特征向量正交化后，单位化，构成

3、正交矩阵，特征向量与特征值要位置一致.(4)正交矩阵不唯一，依赖于基础解系参数的选择.注：此种类型需要先写出二次型矩阵.补充知识(1)矩阵等价.设A,B为同型矩阵，若A经过有限次初等变换可以化为B,则称A与B等价.判别方法：A与B等价的充要条件是r(A)=r(B).(2)矩阵相似.方阵，逆判别方法：A与B均为n阶矩阵，若A与B的特征值相同且都可以相似对角化，则A相似与B.特别的：A与B均为n阶对称矩阵，由于对称矩阵都可对角化，故只要A与B相同，则A相似与B.(3)矩阵合同.实对称矩阵，转置判别方法：A与B均为n

4、阶实对称矩阵，则A与B合同的充要条件是：矩阵A与B的正负特征值个数相同.A相似但不合同B合同但不相似C相似且合同D不合同也不相似BA：-2，1，2B：1，1，-1A相似但不合同B合同但不相似C相似且合同D不合同也不相似C1.对称矩阵的性质：三、小结(1)特征值为实数；(2)属于不同特征值的特征向量正交；(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值．2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)

5、将特征向量单位化；(4)最后正交化．思考题A的特征值：r个1，n-r个0作业：