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1、第3章图像处理中的正交变换数字图像处理方法可分为两大类：一个是空间域处理法(或称空域法)，一个是频域法(或称变换域法)。1变换处理一般是线性变换，其基本线性运算式是严格可逆的，并且满足一定的正交条件，因此，也将其称作酉变换。目前，图像处理技术中正交变换被广泛地运用于图像特征提取、图像增强、图像复原、图像识别及图像编码等处理中。2本章内容3.1傅里叶变换(FourierTransform)3.2离散余弦变换(DiscreteCosineTransform)3.3沃尔什变换(WalshTransform)感兴趣的
2、同学自学3傅里叶变换是大家所熟知的正交变换。在一维信号处理中得到了广泛应用。把这种处理方法推广到图像处理中是很自然的事。这里将对傅里叶变换的基本概念及算法作一些简单的复习。3.1.1傅里叶变换的定义及基本概念3.1.2傅里叶变换的性质（二维）3.1.3离散傅里叶变换3.1.4快速傅里叶变换(FFT)3.1.5用计算机实现快速傅里叶变换3.1.6二维离散傅里叶变换3.1傅里叶变换(FourierTransformation)先修课《数字信号处理》课程的主要内容，自己复习43.1.1傅里叶变换的定义及基本概念傅里
3、叶变换在数学中的定义是严格的。设f(x)为x的函数，如果满足下面的狄里赫莱(Dirichlet)条件：(1)具有有限个间断点；(2)具有有限个极值点；(3)绝对可积。5则有下列二式成立(3-1)(3-2)6式中，x为时域或空间域变量，u为频率变量。如令，则有(3-3)(3-4)通常把以上公式称为傅里叶变换对。7函数f(x)的傅里叶变换一般是一个复量，它可以由式(3-5)表示(3-5)或写成指数形式(3-6)(3-7)(3-8)把叫做f(x)的傅里叶幅度谱，而叫相位谱。8两个重要概念：只要满足狄里赫莱条件，连续
4、函数就可以进行傅里叶变换，实际上这个条件在工程运用中总是可以满足的。(2)连续非周期函数的傅里叶谱是连续的非周期函数，连续的周期函数的傅里叶谱是离散的非周期函数。9傅里叶变换可推广到二维函数。如果二维函数f(x,y)满足狄里赫莱条件，那么将有下面二维傅里叶变换对存在：(3-9)(3-10)10与一维傅里叶变换类似，二维傅里叶变换的幅度谱和相位谱如下式：(3-11)(3-12)式中，
5、F(u,v)
6、是幅度谱；是相位谱；是能量谱。(3-13)11例3-3求图3-4所示函数的傅里叶谱。图3-4函数f(x,y)12其
7、傅里叶谱由下式表示133.1.2傅里叶变换的性质(二维)傅里叶变换有许多重要性质。这些性质为实际运算处理提供了极大的便利。这里，仅就二维傅里叶变换为例列出其主要的几个性质。14(1)具有可分性(3-14)这个性质说明一个二维傅里叶变换可用二次一维傅里叶变换来实现。15(2)线性傅里叶变换是线性算子，即:(3-15)16(3)共轭对称性如果是f(x,y)的傅里叶变换，是f(-x,-y)傅里叶变换的共轭函数，那么(3-16)17(4)旋转性如果空间域函数旋转的角度为，那么在变换域中此函数的傅里叶变换也旋转同样的角
8、度，即(3-17)1819在式(3-17)中引入极坐标表示。其中：，，，。所以f(x,y)和分别用和来表示。式中的为对应关系符号。反之，如果旋转某一角度，则f(x,y)在空间域也旋转同样的角度。这条性质只要以极坐标代以，则立即可以得到证明。20(5)比例变换特性如果F(u,v)是f(x,y)的傅里叶变换。a和b分别为两个标量，那么(3-18)(3-19)21(6)帕斯维尔(Parseval)定理这个性质也可称为能量保持定理。如果F(u,v)是f(x,y)的傅里叶变换，那么有下式成立这个性质说明变换前后并不损失
9、能量。(3-20)22(7)相关定理如果，f(x),g(x)为两个一维时域函数；f(x,y)和g(x,y)为两个二维空域函数，那么，定义下二式为相关函数(3-21)(3-22)23式中O符号表示相关运算。由以上定义可引出傅里叶变换的一个重要性质。这就是相关定理，即(3-23)(3-24)式中F(u,v)是f(x,y)的傅里叶变换，G(u,v)是g(x,y)的傅里叶变换，G*(u,v)是G(u,v)的共轭，g*(x,y)是g(x,y)的共轭。24(8)卷积定理如果f(x)和g(x)是一维时域函数，f(x,y)和
10、g(x,y)是二维空域函数，那么，定义以下二式为卷积函数，即(3-25)(3-26)25式中＊符号表示卷积关系。由此，可得到傅里叶变换的卷积定理如下：(3-27)(3-28)式中F(u,v)和G(u,v)分别是f(x,y)和g(x,y)的傅里叶变换。263.1.3离散傅里叶变换连续函数的傅里叶变换是波形分析的有力工具，这在理论分析中无疑具有很大价值。离散傅里叶变换使得数学方法与计算机技术建立了联系，
