信号处理课件第8章 正交变换.ppt

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1、第8章正交变换8.1正交变换；8.2K—L变换8.3离散余弦（正弦）变换（DCT,DST）8.4离散Hartley变换（DHT）8.5离散W变换8.6DCT、DST、DWT快速算法（略）8.7关于图像压缩及国际标准（讲座1）8.8重叠正交变换（LOT）（讲座2）1课件一、信号的分解设空间是由N维空间一组向量概念：8.1正交变换对任一，都可作如下分解：所张成，即2课件信号的离散表示,或信号的分解是分解系数或信号的变换由正变换由反变换如何求出分解系数3课件设想另有一组向量Step1:满足：双正交关系(biorthogonality)4课件例如：显然：两组向量，互为“对偶基”，或“

2、倒数基”。5课件Step2:做内积6课件对则称为一组正交基。一组正交基满足：注意：满足双正交关系的两组基向量各自并不满足正交关系，只是相互之间满足正交关系。如果：7课件几点说明：用向量表示信号，会出现几种不同的情况，取决于的性质：如果空间中的任一元素都可由来分解，则称该向量是“完备（complete）”的；2.如果完备且线性相关，则对的表示必然存在信息冗余，且对偶向量不唯一。可能构成一个“标架（Frame)”;8课件如果是完备的，且是线性无关的，则它构成中的一组基向量，这时其对偶向量存在且唯一，即存在前述的双正交关系；这时的基称为Riesz基。4.如果则是中的一组正交基。9课

3、件二、信号的正交变换给定数据向量：及算子作变换若：则上述变换即为正交变换，或保范（数）变换矩阵的行（列）向量即是前面的向量10课件实际上是正交矩阵，以上正交变换是从线性代数的角度来定义。正交变换的性质：性质1：正交变换的基向量即是其对偶基向量。由性质1可知正交变换具有如下的优点：11课件2.正交变换在计算上最为简单。如果是离散信号，且N是有限值，那么变换只是简单的矩阵与向量运算：3.反变换：不需要求逆，特别有利于硬件实现1.若正变换存在，那么反变换一定存在，且变换是唯一的；12课件性质2：展开系数是信号在基向量上的准确投影非正交基的情况下，“基向量”称为“标架（Frame)”

4、,这时，展开系数不是准确投影。13课件性质3：正交变换保证变换前后信号的能量不变，此性质又称为“保范(数)变换”。此性质实际上是Parseval’s定理，即信号变换前后能量保持不变。注意，只有正交变换才有此性质。14课件性质4：信号正交分解具有最小平方近似性质。最小的条件：傅立叶级数的截短、第7章的FIR滤波器设计等，均要用到该性质。15课件性质5：正交变换的系数具有去除相关和集中能量的性质。数据压缩的理论基础。后面即将讨论。给定一个实对称矩阵，一定可以找到一个正交阵，使得：16课件正交基的选择原则：具有所希望的物理意义或实用意义；正交基函数应尽量简单，计算量小；最大限度浓缩

5、信号能量，去除相关性；基函数应能同时具有频域和时域的定位功能正交变换的实例：FS，FT,DTFT,DFS,DFTDCT，DST,DHTWalsh-Hadamard,Haar变换，SLT(斜变换）正弦类正交变换非正弦类正交变换17课件8.2K—L变换数据向量：协方差阵：对称阵体现了信号各元素之间的相互关系18课件K—L变换的思路：寻找正交矩阵，做变换，使的协方差阵为对角阵。这样之间彻底去除了相关性。如何实现19课件1.由求的特征值2.求的个特征向量3.将归一化，即令步骤：20课件4.由归一化的构成正交阵5.由实现对的K—L变换:这样，信号中的各个元素之间彻底去除了相关性！要求：

6、会证明此式21课件K—L变换的应用－数据压缩：的K—L展开截短22课件欲使均方误差：为最小应是的特征向量。最小这时由于用表示实现数据压缩23课件注意：对正交变换不是时域序列，而是的变换系数（即），如DFT的。正交变换后，信号的能量一般集中在少数的变换系数上，所以可以舍去绝大部分系数，这并不明显损失信号的能量。由剩下的少量系数，如，通过反变换可以很好的恢复出原信号。从而达到数据压缩的目的。24课件K—L变换：去相关性最彻底，在此意义上是最佳正交变换；寻找具有近似K--L变换性能又具有快速算法的新的变换！方向依赖待变换的信号。信号发生变化时，要重新求变换矩阵。特征值和特征向量的计

7、算是相当费时的，因此，K—L变换没有快速算法。这就限制了K—L变换的实际应用。变换的正交矩阵25课件8.3离散余弦变换（DCT）给定：定义：DCT的定义构成一矩阵，是变换的核函数变换域26课件DCT的核函数，DCT矩阵27课件DCT的特点DCT是实变换；DCT是正交变换；在一定条件下，DCT近似K-L变换；DCT有快速算法。正因为DCT有上述特点，因此，DCT在语音和图像压缩中已获得广泛应用。28课件所以DCT是正交变换例：8点DCT：29课件DCT反变换在DCT中，正变换矩阵和反变换矩阵是一样的，都是