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1、广义C_0半群与耗散算子第29卷第3期2011年7月沈阳师范大学(自然科学版)JournalofShenyangNormalUniversity(NaturalScience)V0I.29N0.3Ju1.2011文章编号:1673—5862(2011)o3—0362—03广义C0半群与耗散算子刘瑞,赵华新,马强强(延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安716000)摘要:利用了广义C0半群的定义,生成元的概念,性质,C0半群所具有的耗散算子的结论,主要得到了广义C0半群与生成元之间的关系,线性算子的耗散性刻画了广义C0半群以及压缩的广义C.生成元的充要条件,进
2、而得到耗散的线性算子与广义C0半群的生成元之间的关系,耗散算子与共轭之间的关系,给出了耗散算子的一些性质.Banach空间中耗散算子是一类应用背景极强的算子,该工作对研究Banach空间下的无穷维动力系统的长期行为意义极大.将C.半群中的耗散算子的性质广泛推广到了广义c0半群,极大的丰富了广义C0半群的内容.关键词:广义C半群;生成元;耗散算子中图分类号:0177文献标志码:Adoi:10.3969/j.issn.1673—5862.2011.03.0071广义C0半群的定义与性质定义111-3设C∈B(x)且不可逆,x为任一Banach空间.{T(￡)}≥}
3、0被称为广义C0半群.如果满足(1)T(0)=J;(2)Z(t+s)=T(f)T(s);(3)CT()强连续即liCT()=Cz;V=rEX.定义2E4]线性算子A:D(A)CX~X是广义c0半群{T()}≥o的生成元.如果D(A)={z∈x:lim!}且Ax=lim.Cr(t)x-Cx,zED(A).￡一0￡一0'2耗散算子设x:B.s,x是x的对偶空间,zEx.F(z)={z,z∈x且(z,C)=llzll:llczll2}是z的c对偶集5.定义3[6j设A线性算子,对ED(A)存在zEF(x)使得Re(cc,)≤0,则称A为耗散的.定理1A是耗散的充分必
4、要条件是对>0及zED(A)有II(C—A)zII≥llCxll.证明必要性A是耗散的,.>0,zED(A)所以存在zEF(z)使得Re(x,Az)≤0.I(z,2Cx—A)I≤llllll2Cx—Axll=llCa:lIII2Cx—Axll.Re(x,2Cx—A)=Re2(Iz,Cx)一Re(x,A)≥Re2llCxII=l】CxII.又因Re(x,cz一)≤J(,cz—Ax)I,所以IICxll≤ll(2C—A)2C,ll.充分性对>0,zED(A)Il2Cx—AxII≥llCIl,对VEF(Cz—Ax),令=^●*.因(,c一Ax):I
5、III-1II2Cx—AxII≥IICxII,所以(,c一Asc)=,IReIIII(,Cz)一Re(,)≤lICzIl—Re(z,Ax),得到Re(z*,Ax)≤0.1又因Re(,Cx)=(,2Cx—Ax)+Re(,Ax),所以Re(2,Cx)≥IICxIl+÷Re(,收稿日期:2011-01—12.基金项目:国家自然科学基金资助项目(60542OO2);辽宁省教育厅资助项目(2O08z018).作者简介:刘瑞(1981一),女,陕西延安人,延安大学教师.第3期刘瑞,等:广义C0半群与耗散算子363?ax}=llCxll一÷ljAxll.因为x的单位球在x*
6、的训*拓扑下紧,所以一∞时,的鲫聚点Ex且ll*『『≤1,从而Re<,)≤0且有Re(,Cx)≥IJCxlJo另一方面,Re(*,cz)≤I(,Cx)I口≤llczll,所以Re(z*,Cx)=IlczIJ=I(,Cx)『.令=Ill1.2,则(z,Cx)=』Jl1.(,Cx)=lIl『2,从而IIll=(,Cx)≤fJllCxlI=『J*『l,又lll】=l『flCxll.II≤llCxll,所以Illl=IlCxlI,即有*Ef(x),所以Re(x,)≤0,从而A耗散.定理2设x为Banach空间,CEB(x),A为线性算子,则A是压缩的广义c0半群
7、T(t)的生成元的充分必要条件是:1)A:D(A)CX--~X;2)∈D(A),ACx=CAr;3)lD(A,c)D(o,∞)且对Ep(A,c)有IlR(;A,c(≤.证明充分性文献[7—9]已证.必要性1)由文献[10]中引理2即得.2)由文献[11—12]得T(￡)Cx:(￡)z,从而二一CT(t)x-Cx,这样就有ACx:CAr.3)对>0,令L()=le-arT(t)xdt,zEX(文献[13]).定义了有界线性算子且IIL()ll≤IT(t)IIzlldt=T1,所以llL()ll≤÷.L()z:{f伸一[(￡+^)一cT(￡)md:一1f一)
8、(s)zd一凡JnJ^hIe-2tCZ
