第 03 讲 映射与函数

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1、第3讲映射与函数（第课时）神经网络准确记忆！对应对应、映射与一一映射这三者之间的关系：对应一对多多对一一对一B中有无原像的元素B中没有无原像的元素映射一一映射重点难点重点：1．映射的概念；2．函数的概念；3．函数的表示法。难点：1．求有特殊要求的映射的个数；2．对函数概念的正确理解。考纲要求注意紧扣！1．了解映射的概念；2．理解函数的概念。命题预测仅供参考！1．映射概念的考查多以选择题的形式出现；2．函数的概念可能以小题的形式出现，也可能以大题的形式出现。考点热点一定掌握！1．映射的概念参看上面的映射关系图。

2、⑴对应:若有两个集合和，有一种关系，能使对中每一个元素都确定出中的一个或几个元素，那么就说是一种对应关系，或者说使对中每一个元素，中都有一个或几个元素与之对应。⑵映射:若有两个集合和，如果按照某种对应法则，使中每一个元素在中都有唯一的一个元素与之对应，那么这种关系叫做从到的映射。记为:。中元素所对应的中元素叫做的像，叫做的原像。理解映射概念要注意四点:①映射含有对应法则以及两个集合②映射具有方向性即映射中的两个集合是有顺序的，即:和:不是一回事。③剩余元素不允许中有剩余元素，但允许中有剩余元素（即任何一个元素

3、在中都可以找到唯一的像。而中的元素可以没有原像，也可以有一个或多个原像。）④一对多不是映射。⑶一一映射:对于映射:，若中元素在中有不同的像，而且中每一个元素都有原像，那么这个映射就叫做到上的一一映射。理解一一映射概念要注意三点:①一一映射的对应关系是一对一。②中任一元素都必须有原像。③一一映射与一一对应不是一回事。例如，是实数集，是数轴上的点集，我们说实数与数轴上的点一一对应有两方面的含义，一是任给一个实数，在数轴上可以找到一点与之对应，即:；二是任给数轴上一点，可以找到一个实数与之对应，即:；故一一对应是由

4、两个互为逆映射的一一映射构成的。⑷逆映射:设有一个映射:，如果使中每一个元素在中都有原像与之对应，这样得到的映射就叫做映射:的逆映射，记为:。例如,映射:使中的元素与中的元素对应。那么其逆映射为:使中的元素与中的元素对应。理解逆映射概念要注意两点:①只有一一映射才有逆映射。②求逆映射的对应法则时，原像集合与像集合都不得扩大或缩小。例．若={1，2，3，4，5}，={1，3，7，15，31}，则符合:的是(A):；(B):；(C):；(D):。分析:先看(A)，当时，，故排除(A)。次看(B)，当时，，故排除(

5、B)。再看(C)，当时，，故排除(C)。最后看(D)，当时，，都属于，故应选(D)。例．在映射:中，下列判断正确的是(A)中的任何一个元素在中都有像，但不一定唯一；(B)中的元素在中可能有多个原像，也可能没有原像；(C)集合和一定是数集；(D)记号:与:的含义是相同的。分析：(A)中的对应是一对多，不是映射，故排除；(B)正确；(C)是错的，故排除；(D)是错的，因为映射中的两个集合是有序的。2．函数的概念⑴函数：一个非空数集到另一个非空数集的映射叫做函数。记为。理解函数概念时注意三点：①函数的三要素为：对应

6、法则、定义域和值域。②:中，前面一个集合是定义域，后面一个集合是值域，“”应理解为对应法则；③、是非空数集。例．下列对应是否为从到的映射？能否构成函数？①，，:；②，，:；③={平面内的矩形}，={平面内的圆}，:作矩形的外接圆。解：①一个对应要是映射，必须这个对应的原像集合中不能有剩余元素，但这里的原像集合中有剩余元素-1（即当时，不存在），所以这个对应不是映射。②、两集合即={2，4，6……}，，由对应法则可知，这个对应是映射；又、为非空数集，所以这个映射是函数。③这个对应是映射，但、不是数集，所以这个映

7、射不是函数。例．设，，求满足的。解：，，解得，由可知，∴。点评：对函数中的“”应理解为对应法则，而这一法则是可以反复使用的，在使用时要注意函数符号与函数值符号的区别。⑵函数的表示法：列表法，解析式法，图像法。⑶常用函数：正比例函数，反正比例函数，一次函数，二次函数，指数函数，对数函数，三角函数，常数函数（，为常数）。⑷判断两个函数是否同一函数要判断两个函数是否同一函数，只要看它们的定义域和对应法则是否都相同。例．判断函数和是否同一函数？解：二者定义域相同，但对应法则不同，前者的对应法则为，后者的对应法则为，所

8、以和不是同一函数。例．判断函数和是否同一函数？二者定义域相同，对应法则表面不同，但实际上是一回事，所以和是同一函数。点评：同一函数，其对应法则有时可能有不同的表现形式。例．判断函数和是否同一函数。解：二者对应法则相同，但定义域不同，前者的定义域为且，但后者为，所以二者不是同一函数。3．分段函数与复合函数若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可以各用各的对应法则，这种形式的函数叫做分段函数。处理分段