第2讲函数与映射的概念

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1、第2讲函数与映射的概念★知识梳理1.函数的概念(1)函数的定义：设4、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则对于集合A中的每一个数兀,在集合B中都有唯•确定的数和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为y=f(x)9xgA(2)函数的定义域、值域在函数y=屮，x叫做H变量，兀的取值范围A叫做y=/(兀)的定义域;与兀的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合｛门力卜丘力｝称为函数)/(朗的值域。(2)函数的三要索：泄义域、值域和对应法则2.映射的概念设A、3是两个集合，如果按照某种对应法则/,对于集合A中的任意元

2、素,在集合3中都冇唯二确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A到3的映射，通常记为★重、难点突破重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域重难点：1.关于抽象函数的定义域求抽彖函数的定义域，如果没有弄清所给函数Z间的关系，求解容易出错误问题1：已知函数y=/(x)的定义域为［q,b,求y=/(x+2)的定义域［误解］因为函数y=f(x)的定义域为［a,b］,所以a

3、的定义域为［a,bl，所以在函数y=/(x+2)屮，a

4、[a+2,6+2]即本题的实质是由。

5、2x+2的值域则得x=所以y=02V4-1由y=得yr?—2(y+l)x+2y-l=0,若y=0,广一2x+2是函数值域中的一个值；若)v0,则IIIA=[-2();+l)]2-4y(2y-l)>()得上亟分5出叵且圧0,故所求值域是[上亟,竺叵]2220T3(4)分离常数法：常用来求“分式型〃函数的值域。如求函数『=的值域,因为cosx+1y=-―———-=2:,而cosx+1w(0,2],所以:e(一00,——J,故COSX+1cosX+1cosX+12y€(-00,--]3r,若x>0,则兀—n2」x•—=4XX⑸利用基

6、本不等式求值蜕如求函数尸冷的值域3当x=0时，y=0；当x工0时，y=•4x+-X在（-丄,0）上递增、在（0,丄）上递减、在（丄,2）上递增，从而可得所求值域为［—,30］2228（7）图象法：如果函数的图象比较容易作岀，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段两数的值域常用此法）。★热点考点题型探析考点一：判断两函数是否为同一个函数［例1］试判断以下各组函数是否表示同一函数?（1）/（%）=TP",g（x）=V?；⑵/u)=W,XX>0,x<0;⑶/(x)=2nVx2w+1,g(兀)=(2”折严-】(«eN*)；(4)

7、/(x)=Vx^Jx+l,g(x)=yjX2+X（5）/（%）=x2-2x-1,g（r）=t2-2r-1［解题思路］要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三耍素。［解析］（1）由于/（x）=纭=X,g（x）=冠=x,故它们的值域及对应法则都不相同,所以它们不是同一函数.（2）由于函数/（x）=H的定义域为（-oo,0）U（0,+oo）,而g⑴二F的定X1X<0;义域为R,所以它们不是同一函数.（3）由于当用N*吋，2/1±1为奇数，・•・/（兀）=2啷严=x,g（x）=（加折）2心=x,它们的定义域、值域及对应法则

8、都相同，所以它们是同一函数.（4）由于函数/（x）=V^V7TT的定义域为{xx>0},而g（x）=Vx2+x的定义域为{xx>O^x<-}f它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.［答案］（1）、（2）、（