第二讲映射与函数1

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1、第二讲映射与函数［知识要点］1.映射有关概念2.函数定义，定义域、值域［能力训练］1.合的并集A^B={a^a1,a3},当A^B时，（A,B）与（B,A）视为不同的对，则这样的（人3）对的个数为（）（1993年全国高中数学联赛试题）（A）8（B）9（C）26（D）27［解法一］:若A={aiya2,a3},则满足题意的3有：};{a2};};{c^,a2};{al9a3};{a2,a3};{a},a2,a3};即这时的配对个数有:C«+C；+C孑+C»8；仿此,若A=（a19a2}（或{©，必仏心}），满足题意的B的个数，即配对个数有：&（C；）+C；

2、+样）=12；于是，全部配对个数有：8+12+6+1=27。［解法二］:A=B且=P的情形只有1个配对：A=P,B=P,而A^B的配对个数必是偶数，所以全部配对个数为奇数。又粗略计数后知，配对个数不少T16,故选（D）。［评注］:两种解法反映的是一种数学思想：配对思想。解法一是分类讨论；解法二是估算法。2.设A={6卫2，。3卫4}，B={勺,/?2上3上4上5}（1）写出一个使得/为单射，并求所有A到B的单射的个数。（2）写出一个4TB,使得/不是单射，并求所有这些映射的个数。（3）A到B的映射能否是满射？無（1）作映射A^B，使得i=1,2,3,4则

3、此映射即为A到B的一个单射，这种单射的个数为用二120。（2）作映射厂ATB,可以先求A到3的映射的个数：分四步确定％卫2，如卫4的象，每步都有5种可能，因此所求映射的个数为5°个，因此满足条件的映射的个数为5°—尺=505。（3）不能。山于A中的每一个元素恰与B中的一个元素对应，IAI=4,IBI=5,所以B中至少有一个元素在A中找不到与它对应的元素，因此A到B的满射不存在。说明：一般地，若A到B有一个单射，贝IJIAIWIBI,若A到B有一个满射，则IAIMIBI,若A到B有一个——映射，则IA=B思考：在上述问题中，如何求从A到B的子集上的一

4、一映射的个数？B中的4个元素的子集共有C；个，从A到B的每4个元素的子集上的一一映射各有用个，所求的映射的个数是C；厅=120个。3.若函数y=log3（x2+6/X-6/）的值域为人，则实数d的取值范围是o（94年第5届“希望杯”全国数学邀请赛）［解法一］:根据函数值域定义，对于任意实数y,关于兀的方程log3(x2+^-6z)=y即兀2+q—a—3『=0恒有解，因此△=/+4@+3〉，)=°2+4Q+4.3Vno——(*)恒成立，v4-3v>0.(*)式成立的充要条件是a2+4«>0,解得dS-4或GhO。2［解法二］:根据对数函数和二次函数的性质

5、,u(x)=x2+ax-a(xeR)的最小值不在于0,即—SO解4得a5-4或a»0。［评注］:解法一运用转化思想把对数函数转化为指数形式(关于兀的二次方程)获得解答；解法二运用对数函数和二次函数的性质获得思路。1.对实数x,求函数/(x)=^Sx-x2-a/14x-x2-48的最大值。(96年美国中学数学竞赛题)［解法/(兀)的定义域为［6,8］,m(x)=Jsx-x2=716-(x-4)2,当x=6时，wmax=V12；v(x)=-a/14x-x2-48=-Jl-(x-7)2,当x=6时，％x=()，从而当x=6时/(x)有最大值辰=2侖。［解法二］

6、:/(兀)定义域为［6,8］,令u(x)=^x-x2,v(x)=yj4x-x2-48,m2-v2=48-6xovxg［6,8］,0<48-6x<12,/.00,v=^/l-(x-7)2>0……(1)z.

7、=6时/(x)有最大值712=2^3o评注：联想思维是数学问题解决的重耍思维方式，解法一运用知识点：“若f(x)=u(x)+vM，讥兀)「(兀)同时在x=x0处取得最人值，则/(兀)在x=x0处取得最人值；解法二运川不等式的放缩法求解；解法三运川知识点“若/⑴在闭区间S,创上为单调函数，则/(兀)在端点处取得瑕值”。2.设集合M={xI1WjcW9,兀£N},P={(a,b,c,d)ld,b,c,dwM}.定义M到Z的映射(a,b,c,d)Icib-cd。若u,v,x,y都是M屮的元素，且满足f：(u,v,x,y)T39,(%,y,x,v)T66。求w,

8、v,x,y的值。解：山题意得uv-xy=39(1)uy一xv=66(1)+(2)