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1、基于合情推理的圆锥曲线试题命制赏析福建省泉州第七中学（362000）赖呈杰福建省泉州第五中学（362000）杨苍洲合情推理有“归纳”和“类比”两种推理模式，这种推理是建立在观察、实验的基础上，通过“类比”来产生“联想”，或者通过“归纳”来进行“猜想”，是一种“发现未知”的思维形式。在解析几何的某些问题中，我们常常可以通过类比、归纳，从中发现“圆、椭圆、双曲线、抛物线”的一些共同性质。因此，基于“圆锥曲线”，交汇考查“合情推理”成为命制“解析几何”试题的一种常见命题手法。这样的试题设计精彩纷呈，往往成为一份试卷的亮点所在。笔者曾在各级各类命题工作中，以此为背景进行试题命制。现略举数
2、例，与读者共赏。例1（2014年泉州市质检）已知点M到点F(1,0)和直线x=－1的距离相等，记点M的轨迹为C。（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）过点F作相互垂直的两条直线l1，l2，曲线C与l1交于点P1,P2,与l2交于点Q1,Q2。证明：1
3、P1P2
4、+1
5、Q1Q2
6、=14；（Ⅲ）圆锥曲线在某些性质方面呈现出统一性。在（Ⅱ）中，我们得到关于抛物线的一个优美结论。请你写出关于椭圆Γ:x24+y23=1的一个相类似的结论（不需证明）。分析与解：（Ⅰ）易得曲线C的方程为y2=4x。（Ⅱ）可设l1的方程为y=k(x－1)(k≠0)，P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，由y2=4x,y
7、=k(x－1)得k2x2－(2k2+4)x+k2=0，所以x1+x2=2k2+4k2，x1x2=1，又
8、P1P2
9、=x1+x2+2=4k2+4k2，同理可得
10、Q1Q2
11、=4+4k2，所以1
12、P1P2
13、+1
14、Q1Q2
15、=k24k2+4+14k2+4=14。（Ⅲ）在抛物线中有（Ⅱ）中所述的定值性质，我们猜测在椭圆中也有此定值性质，我们可以通过特殊位置来确定此定值，当l1，l2分别垂直于x,y轴时，1
16、P1P2
17、=14,1
18、Q1Q2
19、=13，因此1
20、P1P2
21、+1
22、Q1Q2
23、=712。关于椭圆Γ的一个相类似的结论为：若l1，l2是过椭圆Γ:x24+y23=1的焦点且相互垂直的两条直线，
24、其中椭圆Γ与l1交于点P1,P2,与l2交于点Q1,Q2，则1
25、P1P2
26、+1
27、Q1Q2
28、=712。图1例2（2014年福建省质检）如图1，设P是圆O:x2+y2=2上的点，过P作直线l垂直x轴于点Q，M为l上一点，且PQ→=2MQ→，当点P在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线Γ。（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）某同学研究发现：若把三角板的直角顶点放置在圆O的圆周上，使其一条直角边过点F(1,0)，则三角板的另一条直角边所在直线与曲线Γ有且只有一个公共点。你认为该同学的结论是否正确？若正确，请证明；若不正确，说明理由；（Ⅲ）设直线m是圆O所在平面内的一条直线，过点F(1,0)作直线m的垂
29、线，垂足为T，连接OT，请根据“线段OT的长度”讨论“直线m与曲线Γ的公共点个数”。（直接写出结论，不必证明）析解：（Ⅰ）易得曲线Γ的方程为x22+y2=1。（Ⅱ）设三角板的直角顶点放置在圆O的圆周上的点N(a,b)处，则a2+b2=2，又设三角板的另一条直角边所在直线为l′。（ⅰ）当a=1时，l′与曲线Γ有且只有一个公共点。（ⅱ）当a≠1时，则kNF=ba－1。若b=0时，l′与曲线有且只有一个公共点；若b≠0时，则l′:y=1－abx+2－ab，由x22+y2=1,y=1－abx+2－ab,得(a－2)2x2+4(1－a)(2－a)x+4(a－1)2=0，所以Δ=0，所以直线
30、l′与曲线Γ有且只有一个公共点。综上述，该同学的结论正确。（Ⅲ）由（Ⅱ）知：当
31、OT
32、=2时，直线m与椭圆Γ相切。显然，当
33、OT
34、变大时，直线m与椭圆Γ相离；当
35、OT
36、变小时，直线m与椭圆Γ相交。故可猜测下述结论：当
37、OT
38、>2时，直线m与椭圆Γ没有公共点；当
39、OT
40、=2时，直线m与椭圆Γ有且只有一个公共点；当
41、OT
42、<2时，直线m与椭圆Γ有两个公共点。图2例3某同学用《几何画板》研究抛物线的性质：打开《几何画板》软件，绘制某抛物线E:y2=2px，在抛物线上任意取一个点S，度量点S的坐标(xS,yS)，如图。（Ⅰ）拖动点S，发现当xS=4时，yS=4，试求抛物线E的
43、方程；（Ⅱ）设抛物线E的顶点为A，焦点为F，连结直线SF交抛物线E于不同两点S、T，构造直线AS、AT分别交准线于M、N两点，连直线MT、NS。经观察得：沿着抛物线E，无论怎样拖动点S，恒有MT∥NS。请你证明这一结论；（Ⅲ）为进一步研究该抛物线E的性质，某同学进行了下面的尝试：在（Ⅱ）中，把“焦点F”改变为其它“定点G(g,0)(g≠0)”，其余条件不变，发现“MT与NS不再平行”。是否可以适当更改（Ⅱ）中的其它条件，使得仍有“MT∥NS”成立？如果可以，请写出相应的正确命题；
