由合情推理看圆锥曲线切点弦的系列问题

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1、GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwarehttp://www.foxitsoftware.comForevaluationonly.由合情推理看圆锥曲线切点弦的系列问题论文概要：“新课程标准”首次明确将学生数学合情推理能力的培养作为高中数学教学的重要目标之一．在数学学科中，合情推理是论证推理的前提与基础，并与数学直觉思维与形象思维相辅相成．归纳与类比是数学中最常用的两种合情推理方法．随着时代的发展，合情推理进入高中数学课程已经是世界各国课程改革的普遍趋势．归纳与类比两种推理既有联系，更有区别．它们是科学发明创造的引路人，尽管结论具有暂时性

2、、冒险性及不可靠性，但两者都是提出猜想或发现结论的强大武器．拉普拉斯曾说过：甚至在数学里，发现真理的工具也是归纳与类比．因此，将按逻辑演绎编写的教材还原为生动活泼的数学创造是教师的义不容辞的责任．教师不能单纯地按“定义、定理、推论”的形式演绎方法展开数学内容，而应讲原始思想、分析解决问题的念头、给出证明的思路等，把逻辑推理还原为合情推理，把形式演绎还原为归纳、类比演绎．“思想应当诞生在学生的心里，教师仅仅应当像助产士那样办事．”教师要选择典型的问题，创设情境，让学生饶有兴趣地、自觉地去试验、观察，得到猜想．“学生自己提出了猜想，也就会有追求证明的渴望，因而此时的数学教学最富有吸

3、引力，切莫错过时机”．本文从圆的切点弦的系列性质入手，利用合情推理对这些性质在椭圆、双曲线、抛物线进行大胆的类比和猜想，进而对圆的切点弦的系列性质的证明方法，用类比的思想在椭圆、双曲线、抛物线中实施了相应的证明，使所有的性质在椭圆、双曲线、抛物线中得到了全面的推广．从而，一方面阐述了合情推理在数学研究中的重要作用，同时又让学生感受到了数学知识(圆锥曲线性质)的内在统一与和谐之美．关键词：合情推理；归纳与类比；切点弦；有心曲线；无心曲线．一、切点弦的定义平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦圆锥曲线的切点弦内容丰富，变化多端，结构美丽，和谐统一，也是高考

4、命题的热点之一，所以值得我们去深入研究．二、圆的切点弦的相关问题2221．已知圆x+y=R和一点Pxy(,)，那么我们有下面的结论002①点Pxy(,)在圆上时，直线xx+yy=R为过点Pxy(,)的切线（图1）0000002②点Pxy(,)在圆外时，直线xx+yy=R为过点Pxy(,)的两切线的切点弦（图2）0000002③点Pxy(,)在圆内时，直线xx+yy=R为过以点Pxy(,)为中点的弦端点的切线的交点，且垂直于OP000000的直线．（图3）（点击图1可进入动态情境）1GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwarehttp://ww

5、w.foxitsoftware.comForevaluationonly.（图1）（图2）（图3）2④设圆心O到直线的距离为d，O到点P的距离为d，则dd=常数（r）（无论点P在曲线的什么位置，上12122述结论均成立）．且点P与直线xx+yy=R沿直线PO作反向运动．002222．已知圆x+y=R，圆外一点Pxy(,)，那么我们有下面的结论00①过圆心与圆外一点的直线与圆的交点处的切线平行于切点弦．（图4）（点击图4可进入动态情境）uuuruuuruuuruuur②过圆外一点P的任一直线与圆的两个交点为C、D，点Q是此直线上另一点，且满足CPQD=PDCQ则点Q的轨迹即为切点

6、弦，反之亦然．（图5）（点击图5可进入动态情境）112③过圆外一点P的任一直线与圆的两个交点为C、D，与切点弦的交点为Q，，则+=成立．反PC

7、PD

8、

9、PQ

10、之亦然．（图6）（点击图6可进入动态情境）（图4）（图5）（图6）圆中的上述结论我们并不陌生，所以这里不再证明．需要思考的问题是这些结论在椭圆、双曲线、抛物线中是否仍然成立，又能否与圆统一？由于圆锥曲线基于同一几何体（圆锥面截得）而得，从数学美的角度看应该能统一，但毕竟圆是最特殊的图形，它的某些结论在图形变形后会有所改变，我们的问题是怎样把它们统一起来．现行新课标已把联想、类比、归纳等合情推理思想提到一定高度，因此我们不妨

11、用这些数学思想类比出椭圆、双曲线、抛物线的相关结论，并以合情推理的思想给出相应证明．三、归纳与类比（一）有心圆锥曲线切点弦的相关问题221．已知有心圆锥曲线Ax+By=1，和一点Pxy(,)，那么我们有下面的结论002GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwarehttp://www.foxitsoftware.comForevaluationonly.①点Pxy(,00)在有心圆锥曲线上，直线Axx0+Byy0=1为过P点的有心圆锥曲线的切线．（图7）（点