浅谈圆锥曲线试题的命制

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1、浅谈圆锥曲线试题的命制　　解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想.在高考以及各种类型的模拟考试中，基本考查形式是“一大一小”.小题重在考基本知识、基本技能的灵活应用；而大题，则主要以圆锥曲线为载体，综合各个模块知识点（平面向量、导数、不等式等），全面考查学生分析问题、解决问题的能力.　　圆锥曲线综合题由于内容丰富、考法灵活，从而难度较大.其能综合考查学生数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理等方面的能力，重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络.如果你是命题者，你会怎样命好一道圆锥

2、曲线综合题呢？笔者认为，主要注意以下三个方面.　　一、求“新”存“旧”的原则　　“新”自然指的是创新，是我们命题时应遵循的一个重要准则.创新的方式可以是从内容到形式完全新编的题目，也可以是改变原有知识的编排顺序与配合方式，使题目以全新的面孔出现.这类题目由于背景、内容都比较新颖，学生理解题目需要一定的时间，是提高难度的一种有效手段.而“旧”指的则是经典的“老题”，这类问题学生背景熟悉，上手容易，自然是降低难度的不二选择.下面我们通过下面的试题详加说明.　　【试题1】（2013年天津卷理科第18题）设椭圆x21a2+y21b2=1（a>b>0）的

3、左焦点为F，离心率为1313，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为41313.　　（Ⅰ）求椭圆的方程；（x213+y212=1）　　（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若AC?DB+AD?CB=8，求k的值.（k=±12）　　分析：命题者通过本题主要想考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的运算等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质的能力，考查运算求解能力以及用方程思想解决问题的能力.但是在题目设置上，第（Ⅰ）问通过常见的离心率与弦长，便于求出椭圆方程，而第（Ⅱ）问则是通过学生熟

4、悉的向量背景，在解题的过程中提示学生直接通过向量坐标表示转化为坐标运算，使得题解灵活简便，真可谓使老问题“焕发青春”.　　【链接1】已知圆M：（x-12）2+y2=713，若椭圆C：x21a2+y21b2=1（a>b>0）的右顶点为圆M的圆心，离心率为1212.　　（Ⅰ）求椭圆C的方程；　　（Ⅱ）已知直线l：y=kx，若直线l与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H两点（其中点G在线段AB上），且

5、AG

6、=

7、BH

8、，求k的值.　　略解：（Ⅰ）椭圆C的方程为x212+y2=1.　　（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）.　　由直线l与

9、椭圆C交于两点A，B，　　则y=kx，　　x2+2y2-2=0.　　所以（1+2k2）x2-2=0，　　则x1+x2=0，x1x2=-211+2k2，　　所以

10、AB

11、=1（1+k2）811+2k2=18（1+k2）11+2k2.　　点M（12，0）到直线l的距离d=

12、12k

13、111+k2，　　则

14、GH

15、=21r2-d2=21713-2k211+k2.　　显然，若点H也在线段AB上，则由对称性可知，直线y=kx就是y轴，矛盾.　　因为

16、AG

17、=

18、BH

19、，所以

20、AB

21、=

22、GH

23、，　　即8（1+k2）11+2k2=4（713-2k211+k2）.　　

24、解之，得k2=1，即k=±1.　　分析：本题也可谓“老树发新芽”.本身为常见的弦长问题，但是通过

25、AG

26、=

27、BH

28、到

29、AB

30、=

31、GH

32、的转化，使得本题焕发出新的活力.是弦长而又不仅仅是弦长问题，可综合考查考生转化与化归、运算求解的能力.　　通过上面两个试题，我们可以发现，如果想得到一个好的试题，其实我们是可以通过对原有问题适当地加工，在某一个细节进行微调，就能够使得一个老的问题焕发新的青春，这也就是我们说的求“新”存“旧”的原则.　　二、注意试题的“几何”特征　　圆锥曲线综合问题毕竟是解析几何的范畴，那么它就脱离不了“几何”的约束.有些问题我们

33、通过换一种说法的方式，就可以使得试题面目焕然一新.比如，要想考查OA?OB=0，既可以说：已知OA与OB垂直，也可以说：已知以AB为直径的圆过坐标原点O.下面通过两个具体问题对此进行阐述.　　【试题2】（2013年新课标全国卷Ⅰ理科第20题）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x-1）2+y2=9，动圆P与M外切并且与圆N内切，圆心N的轨迹为曲线C.　　（Ⅰ）求C的方程；（x214+y213=1，且x≠-2）　　（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求

34、AB

35、.（

36、AB

37、=1817或213）

38、　　分析：本题解决的关键是能够意识到当l的倾斜角不为90°时，由r1≠R知，l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则

39、QP

40、1

41、QM

42、=R1r1，通过