合情推理在数列中的正能量——赏析一个合情推理课例-论文.pdf

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1、进阶·问题探宄合情推理在数列中的正能量赏析一个合情推理课例张宏伟黄元华《高中新课程标准》提出将“培养学生合12345情推理能力”与“使学生通过学习合情推理_Sz()15l43O55加深对数学本质的理解”作为高中数学教学_但是，从上表中我们没有发现S()的的重要目标．因此课本中新增了“推理与证前几项有何明显特征，于是我们组的同学提明”的教学内容，其中合情推理(归纳与类比出S()与S()会不会有某种联系，于是推理)是具有创造性的推理方法．下面向同列表如下：学们展示笔者精心设计的一次探究课，希望12345能和你们一起经历一次

2、类比(归纳)——猜想的过程，来增强大家的创新意识和创新能S1()l361O15力，体会合情推理的正能量．下面呈现本次S2(n)15143055课的大致过程．仔细观察表中所给数据，我们惊喜地发1墅例1我们知道，前n个正整数的和为现S1(1)+Sl(2)+S2(1)一S2(2)，S(2)+S1(3)+S：(2)一S2(3)，S1(3)S1(n)一1+2+3十⋯十===÷(十1)，那么十S1(4)+S2(3)一S2(4)，S(4)十S1(5)十请你猜想前个正整数的平方和S(n)一lS。(4)一S：(5)，因此我们大胆猜测S(

3、)++2+3+⋯十72一?S(+1)+S(n)一S(+1)，由此式出发全班同学分组讨论，10分钟后各组推选我们发现不能求出S()．我们组继续观察，代表登台汇报本组猜想结果．又有新发现一，于是可求出甲组代表：我们组由S。(”)一n和S(，z)S，()===1+2+3+⋯+n一去(+1)可以看出，它们分别是关于nn(n+1)(2n+1)一一————一‘的一次式与二次式，且常数项为零，所以我们猜想S()是一个关于的三次式，且常评析此例我们从中体会到，产生猜数项为零．我们进一步观察后猜测。的系数想的关键是从一些个别现象中观察总

4、结出为÷，因此我们猜想S(n)一÷。+nn+一般性的规律．需要注意的是，虽然乙组同学的成果显得稍微繁琐些，但列举前几项，6n．将S(1)一1，S(2)一5代人即可计算出然后仔细观察，锲而不舍地摸索规律，这种n一丢，6一百1．故s()一吉。++告正能量值得提倡．(+1)(2n+1)课堂练习一一———一一。1．前个正整数的立方和S。()一1。+乙组代表：我们组首先列举出Sz(n)的2。+3。十⋯+。一．前几项，希望从中归纳出一般结论．2．若数列{n}的前项和S一n(44

5、川lll=川j一“I～进阶·问题探完∈N)，且a一1

6、，计算a，a。，a的值，由此情理呢?我让同学们进一步观察分析上表，猜想a一．细心的同学发现，在性质2中，无论是等差3．若数列{a}的通项公式a一数列还是等比数列，下标运算“m+—+q”1⋯r(EN)，记厂()一(一a)(一是没有改变的·所以可以猜想bm+n一√a)⋯(1-a)，通过计算厂(1)，厂(2)，，(3)的更合情理．但究竟是否正确，还须证明．一位值，推测出．厂()一．同学给出的证明如下．(参考答案：1．；2．；证明因为{b}是等比数列，所以3．厂()一n+2b+一b1q_。，由题知a—b1～，b—．)例2已知命

7、题：‘‘若数列{}为等差数b以a—q⋯，b一净一，IJ列，且a一a，a一b(m<，m，EN)，贝4bn-am口+一——．，，现已知数列{6}(6>0，所以bm+~-=-bq一()⋯．EN)为等比数列，且b一a，b一b(仇

8、+_+3+⋯+±，则数列{6)也为等定义口+1一a一dn—+—1一a差数列，类比上述结论，若{c)为正项等比a‘数列，若d一．则数列{d)也为等通项公式a一n1+(一1)dna1q比数列．性质1a一n一(m一)d一a⋯5．若{a)是等差数列，m，，P是互不相等的正整数，则有(m—n)a+(一p)a+若+=声+q，则若m+一P(一m)n一0，类比上述性质，相应地，对于性质2+q，则n·Ct+n=ap+口等比数列{b}有．a一np。n目(参考答案：4．一；首先说明：和差是第一级运算，积商是第二级运算，乘方开方是第三级运算．

9、5．6一·6·be一一1．)同学们仔细观察上表中的后两列，很快合情推理是富于创造性的或然推理，它发现，只要把等差数列某一性质中的运算形为演绎推理指明了目标和方向．本节课旨在式提高一级，就可得到等比数列的相应性让同学们体验和参与类比(归纳)、猜想、证”一明的科研过程，同时让我们明白，类比或归质．基于此有的同学猜想b+一√，而V“纳猜