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1、参数型Marcinkiewicz积分交换子的端点估计第24卷第1期石家庄铁道大学(自然科学版)V.1.24N..1201103月JOURNALOFSHIJIAZHUANGTIEDAOUNIVERSITY(NATURALSCIENCE)Mar.2011参数型Marcinkiewicz积分交换子的端点估计左大伟,贾慧羡,王亚宁(1.石家庄铁道大学数理系,河北石家庄050043;2.石家庄邮电职业技术学院基础部,河北石家庄050021)摘要:得到了函数b()∈BMO,满足Dini条件时参数型Marcinkiewicz积分交换子.(/)()的端点估计I{y∈l((>入I≤cl1删
2、fRn(1+10g()),其中P>1且,(()=(I[6()一b(y)]y)dyI.字)}.关键词:参数型Marcinkiewicz积分交换子;Dini条件;端点估计中图分类号:0174.2文献标识码:A文章编号:2095—0373(2011)01—0105—060引言及主要结果Hormander在文献[1]中将高维的参数型Marcinkiewicz积分定义如下:(1厂)()=(Jl.(()f)},其中,,(()=J_Y)dy,并且p>Oo2~E23给出当满足一d条件(q≥1)时其强(p,P)型(1<P<∞)及弱(1,1)型结果.相应的参数型Marcin
3、kiewicz积分交换子定义为,(()=(lFp(()I)士,其中,,(()=≤[6()一b(Y)]l厂(Y)dy,当P=1时即为Marcinkiewicz积分交换子.称满足Dini型条件,如果log一(1)式中,(o(p)=sup{l力()一力(Y)l:I—Yl<P,,Y∈S一}.考虑b()∈BMO,且满足Dini型条件时,参数型Marcinkiewicz积分交换子的LlogL型端点估计.主要结果叙述如下.定理1设是上零次齐次函数力()dx=0,满足Dini型条件(1),b()∈BMO.则存在正常数c使得对每个具紧支集的光滑函数/及所有A>0,l{Y∈R:I.((
4、)I>A}I≤clIbIl.J(1+l0g+()).注1:文献[3],文献[4]给出了参数型Marcinkiewicz积分的及Hardy空间上的有界性.注2:文献[5]给出了有界核条件下参数型Marcinkiewicz积分的L(1<P<∞)有界性.注3:文献[6]给出了参数型Marcinkiewicz积分弱Hardy空问到弱￡空间的有界性.为证明定理1先介绍一些记号.以,分别表示6阶Hardy—littlewood极大算子和6阶sharp函数,它们分别定义为收稿日期:2010—0423作者简介:左大伟男1976年出生讲师106石家庄铁道大学(自然科学版)第24
5、卷=(击J^pIdr)1,6>0(2)酆(击JpI,,)～foIdr)i1,>0(3)~oe,foy)dy;当6=1时,M?,分别为Hardy—Littlew..d极大函数和Sharp极大函数.并记∽()=(坳().称函数A:[0,∞)一[0,∞)为Young函数,如果A是连续递增的凸函数,且满足A(0)=0,A(f)一十∞(t---++∞).A的Young补函数定义为A(s)=sup[st—A(t)],0≤s≤o.(4)0≤t≤∞,易知,函数()=f(1+log￡)是一个Young函数,其Young补函数(f)=eto设函数,在方体Q上有定义,它的Luxembur
6、g范数定义为Ilfll邶=A>0:rJ^QA()d),≤1).对于Luxembur'g范数相应的极大函数定义为(()=SUIlfll,并有下面的广义Holder不等式成立Jy)g(y)dy≤Ilfll邶IIgII(5)方便起见,采用向量值奇异积分观点,用表示Hilbert空间:IIII=(<∞}(6)则.(()=tl,()II澎,其中,,()=flx-yl~t[6()一b(y)]),).1定理证明引理1设是嗵上零次齐次函数,()=0,满足Dini型条件(1),6()EBMO,0<<E<1.则存在正常数c=c使得(,∽)()≤clJ6lJ一(∽()+
7、(∽)())(7)证明:给定∈R,用Q=q(x.,1)表示中心在.,边长为z且各边分别平行于坐标轴的方体,记Q=q(x.,4).把,分解为)=()十(),其中()=,注意到6(),)∽(,,)一((),)=(6(,,)一bQ)∽(y)～((6—6Q)(y)一((b—bQ.)(),).类似于文献[8]的方法广打J.l,((z)一(,(())Q出)古≤(J口l,(()一((6—6Q?)())(Xo)I出)古≤(rIJ(6()一6口)(()Jl出)古+(广JJ((6—6口)()IJ出)古+(广II
