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1、广义分数次积分算子交换子的Coifman型加权不等式醺数学物理http://actams.wipm.aC.CI1广义分数次积分算子交换子的Coifman型加权不等式闫雪芳李文明(河北师范大学数学与信息科学学院石家庄050016)摘要:设乃是由满足广义HSrmander条件的核函数确定的广义分数次积分算子,该文得到了广义分数次积分算子交换子的Coifman型加权不等式,并将结果应用于一类粗糙核分数次积分算子交换子.关键词:广义分数次积分算子;交换子;MR(2000)主题分类:42B20;42B25文章编号:1003—3998(2011)03—776
2、—091引言及主要结果H6rmander条件;加权不等式;极大函数中图分类号:O174.2文献标识码:A设0<<n,对R上的可测函数f,分数次积分算子定义为/RMuckenhoupt与Wheedenl】证明了下面的Coifman型加权不等式:对任意0<P<..及任意∈o.,Aoo表示Muckenhoupt权函数类,有/lLf(x)lw(x)dxC/l厂()w(x)dx,(1.1)√Rn√Rn其中是分数次极大算子.关于分数次积分算子的交换子fb,1,当b∈BMO时,也有类似的结果,见文献[2】,其中[b,],()=6()Lf
3、(x)一L(bf)().最近Riveros[3J引入一类广义分数次积分算子,并研究了其Coifman型加权不等式.为给出广义分数次积分算子的定义,我们先介绍一些基本概念和记号.称A(t):[0,∞)一f0,∞)是一个Young函数,如果是连续递增的凸函数,且满足A(0)=0,A(t)一..(￡一0(3).对Young函数,存在共轭Young函数,满足t()()2t.我们假设Young函数是规范的,即x(i)=1.对R上的可测函数,,'厂在球B上的Luxemburg范数定义为fHA,B=inf<…:高()收稿日期:2009—06—1l;修订日
4、期:2010—04—25E—mail:yanxuefang2OO8~tom.com基金项目:河北省自然科学基金(08M001)和河北师范大学科研基金(L2007Q06)资助No.3闫雪芳等:广义分数次积分算子交换子的Coifman型加权不等式777对0<a<n,与Young函数相联系的分数次极大算子定义为Ma,,(z)=supJBJJIfllA,日.Bj若OL=0,(t)=t,Ma,A就是Hardy—Littlewood极大算子;若()=t,Ma,A就是分数次极大算子M.特别地,若Young函数A(t)一t,A(t)=e,其相应的Lu
5、xemburg范数分别记为=l,llexpLr,其相应的极大算子分别记为一MLr,pr.为方便起见,我们用一s表示s<2s,定义1.1设是Young函数,0OL<n.}Ifll~,=JIfx{Ii}Jl,B(o,2s).称核K∈Ha(或称满足,一HSrmander条件),若存在Cl,C>0,使得对任意Y∈R,R>c,有∑(2R)一.(?一)一(')l2mRC.TYt,~1称核∈风,..,若将上面条件中的ll_1～2mR改为l1.一,2mR定义1.2称核‰∈娥.o.,若存在c1,C>0,使得(z一)一(丽,>cl
6、当A(t)=trr1),记巩,=因t1时,tcA(t),我们有风,A(日,1.易证分数次积分算子L的核函数甄(?)=l?la--n∈...cHa,..cHa,.设0<a<扎,对R上的可测函数.厂,广义分数次积分算子定义为厂f(x)=/(—y)f(y)dy.Rn文献【3]得到了如下加权结果:设是Young函数,∈巩,A.若对1<P<q<..,1一=,是强,q)型及弱(1,)型的.则对任意的0<P<..,∈A..,有/f.厂(z)fw(x)dx/,,()w(x)dx,f∈.(1.2)√Rn√Rn设b∈BMO,
7、≥0,与b构成的阶交换子定义为-6,()=/(6()一b())Ka(x—y)f(y)dy.当一0时,即为.本文考虑广义分数次积分算子交换子的Coifman型加权不等式.为此要求核函数K.满足下列更强的条件.下面总假设对1<P<q<∞,1一百1=a,是强,g)型及弱(1,ftla)型的.定义1.3设是Young函数,0Oz<n,k为正整数,称核∈若存在c1,C>0,使得对任意y∈R",R>c,有∑(2R)一mIlK(-一)一K(_)lI,{I～2mRCm=1称核Ka∈磁,o.,若将上面条件中的,2mR改为lIL,
8、2mR.易证哦,o.cc磷-1c…[硪,c巩,c,1.同样地,若t0时,(￡)c(t),则磁,o.cgkc.c磁,1cHa,1.778数
