复变函数与积分变换讲稿 第二章 拉普l拉斯变换

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1、第二章拉普拉斯变换(2)拉普拉斯（Laplace）变换（简称拉氏变换）在电学、力学、控制论等很多工程与科学领域中有着广泛的应用。对某些问题，它比傅氏变换的适用面要广，这是因为它对像原函数要求的条件比起傅氏变换来要弱的缘故。§1拉普拉斯变换的概念一、从傅氏变换到拉氏变换傅氏变换要求函数满足狄氏条件，且在内绝对可积，但在工程技术中，变量是时间，定义在内，而且，许多常用的函数（例如单位阶跃函数，正弦、余弦，线性函数等），都不满足绝对可积的条件，所以我们对傅氏变换中的被积函数，使其积分定义在，，另外，再乘以指数衰减函数，使其衰减速度加快，当时，只要足够大，则就能满足绝对可积，因此傅氏变换

2、就转换为拉氏变换。即，其中，令，则可得称该积分变换为拉普拉斯变换。二、拉氏变换的概念定义1设为实变量的实值（或复值）函数，当时有定义，如果积分（其中为复参数）在的某一区域内收敛，则由此积分就确定了一个复变数的复函数，即，称该积分变换为拉普拉斯变换（1）记为，即，并称为的拉氏变换的像函数。相反，从到的对应关系称为拉氏逆变换（或称为拉氏反变换），记作，并称为的拉氏逆变换的像原函数。三、一些常用函数的拉氏变换例1求单位阶跃函数的拉氏变换。解由（1）式得。由于，所以，当且仅当时，存在且等于零。从而，括号中的是函数的拉氏变换的积分收敛域。例2求，其中为复常数。解由（1）式得例3求，其中为复

3、常数。解。由例3，上式右端第一个积分当且仅当时收敛，而第二个积分当且仅当时收敛。于是有。类似地，可验证：，，。这里为复常数。例4求幂函数的拉氏变换。解。令，则，所以有。当为正整数时，则有。周期函数的拉氏变换若函数以为周期，即当在下一个周期上是分段连续时，则有。例5求周期三角波，且的拉氏变换。解由公式。例6求单位脉冲函数的拉氏变换。解利用性质，有。四、拉氏变换的存在定理定义对实变量的复值函数，如果存在两个常数及，使对于一切都有（5）成立，即的增长速度不超过指数函数，则称为指数级函数，为其增长指数。拉氏变换存在定理设函数满足下列条件：；的任一有限区间上分段连续，间断点的个数是有限个，

4、且都是第一类间断点；是指数函数。则的拉氏变换在半平面上一定存在，此时上式右端的积分绝对收敛，同时在此平面内，是解析函数。证由条件可知，存在常数及，使得，于是，当时，，所以积分在内收敛（而且绝对收敛），即存在。推论若满足上述存在定理中的条件，则。事实上，，当时，，即。。习题二、1.4），6）；2.2），3），5）；6.1），3）；11.1），3）。§2拉普拉斯变换的基本性质1.线性性若，，则对于任何两个复常数和，有，或。2．相似性若，且，则。证作变量代换，可得。3．延迟性若，则对于任意非负实数有，或。证。例求的拉氏变换。这个函数由单位阶跃函数向右平移而得，如下图。解由，由延迟性则有

5、。例求的拉氏变换。解。4．位移性若，则有证例求。解因为，利用位移性，可得。同样。例求的原像函数。解由于，由位移性，所以同样，。5．微分性质10像原函数的微分性质若在上可微，则。证由定义，利用分部积分法可得推论若在中次可微，且满足拉氏变换存在定理的条件，又，则有特别当初值，则。例已知，利用原像函数的微服性质，可求出。解由于。20像函数的微分性质若，则。证因为在半平面内解析，因而可导，即更一般地，有。例求。解因为，而，由像函数的微分性质，所以。6．积分性质若，则。证设，则，且，所以有，所以。例。解利用，由像函数的积分性可得推广。7．像函数的积分性质若，且积分收敛，则。或。更一般地有。

6、例求的拉氏变换。解由于，由像函数的积分性质有。如果积分，其中。例如积分，与前面的狄氏积分的结果完全相同。7.2），4），6），9）13）；8.1），3），7），10）；9.2），4），8），11）；。§3拉普拉斯逆变换前面我们已经讨论了由已知原象函数，如何求它的拉氏变换后的原象函数。同样，我们也要讨论由已知象函数，如何求它的原象函数的问题。当然，我们可以根据拉氏变换的性质，求出某些象函数的原象函数，但对于一般的象函数，如何求出它们的原象函数？这就是我们要讨论的拉氏变换的逆变换问题。一、复反演积分公式定理1.若函数满足拉氏变换存在定理中的条件，为收敛坐标，则由下式给出，（1）其中为

7、的连续点。如果为的间断点，则改成。这里的积分路线是平行于虚轴的任一直线。我们称（1）式为复反演积分公式。其中的积分应理解为。证由§1的拉氏变换存在定理，当时，在上绝对可积；又当时，。因此函数在上也绝对可积，它满足傅氏积分存在定理的全部条件，所以在连续点处有，将上式两边同乘以，并考虑到它与积分变量无关，得。令，则，对的积分限变为对的积分限。于是，其中积分路线是半平面内任一条平行于虚轴的直线。实际上，利用复反演积分公式计算原象函数是很困难的。但由于是的解析函数，所以可以利用复变函数积