复变函数与积分变换傅里叶变换

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1、利用三角级数的周期性来展开周期函数一.傅里叶级数周期函数的傅里叶展开；奇函数和偶函数的傅里叶展开；有限区间中的函数的的傅里叶展开；复数形式的的傅里叶展开。傅里叶变换复变项级数幂级数(1.2)(1.1)要通过三角函数表示f(x)，则必须a.改变三角函数的周期为2l。b.组合各种周期的三角函数来表现f(x)。这就是傅里叶级数。三角函数族：1.周期函数的傅里叶展开周期为2l的函数f(x)满足不同的函数形式由不同的组的和表示。a.2l周期性同样b.按三角函数族展开(1.3)此为傅里叶级数展开.三角函数组具有正交性(1.4)因此(1.5)此外，三角函数族还有

2、完备性，即这个函数族足够展开任何周期函数。函数和级数并不完全一样，例如幂级数就有收敛域的问题。故必须讨论它们在什么条件下完全一致狄里克雷定理若函数f(x)满足条件(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；(2)在每个周期内只有有限个极值点，则三角级数(1.3)收敛，且2.奇函数和偶函数的傅里叶展开是奇函数，是偶函数。故奇函数f(x)有其中偶函数f(x)有其中3.有限区间中的函数的的傅里叶展开f(x)定义于(0,l).可以认为它是某个周期为2l的函数在半个周期中的部分。即令此周期函数为g(x),在半周期(0,l)中g(x)=f(x).这种

3、做法叫延拓。例偶延拓奇延拓4.复数形式的的傅里叶级数其中例矩形波二.傅里叶积分与傅里叶变换有限区间的函数可以延拓为周期函数。而任何一个非周期函数f(x)(定义域为),从方便于研究而言，它又可以看作为以为周期的函数g(x)当趋于无穷大的函数。设g(x)为周期函数，有如下傅里叶展开1.傅里叶积分令：则(2.1)若有限，则(2.1)中的余弦部分的极限为：同理，正弦部分的极限为：故其中(2.2)(2.3)(2.2)是f(x)的傅里叶积分公式傅里叶积分定理：若函数f(x)在区间上满足条件(1)在任意有限区间满足狄里克雷条件,(2)在区间上绝对可积（即收敛）,

4、则f(x)可表为傅里叶积分，且傅里叶积分值=连续点间断点3.奇、偶函数偶函数奇函数例定义矩形函数为将矩形脉冲展开作傅里叶积分。偶函数4.复数形式的傅里叶积分原函数像函数像函数表示为原函数到像函数的变换像函数到原函数的逆变换例同前例偶函数奇函数例1求矩形脉冲函数的傅氏变换及其积分表达式。5.傅里叶变换的基本性质(1)线性性质证明：(2)（微分性质）导数定理#证明：(2)象函数的导数公式记则由微分性质即#(3)积分定理(3)相似性定理通常将变换f(x)f(ax)称为相似变换，它将测量的尺子的单位改变为原来单位的1/a，相应地，测量的长度值变为原值的a倍

5、，而保持函数的形式不变。有时也叫尺度变换。#证明(4)位移定理证明#证明#(5)(6)卷积定理原函数的卷积与像函数的乘积间的关系若和则卷积定义：像函数的位移性质证明#很多时候这样反过来用6.函数（单位脉冲函数）作为广义函数的引入对于任何一个无穷次可微的函数f(x)，如果满足其中(1)筛选性质证明：（利用积分中值定理）#(2)其它性质证明#<2>单位阶跃函数证明#<3><4>(3)其它表示7.傅里叶变换举例三.傅里叶变换的应用象原函数(方程的解)象函数微分积分方程象函数的代数方程取傅氏逆变换取傅氏变换解代数方程例1积分方程的解，其中解：为的傅里叶正弦

6、逆变换例2求解积分方程解：例3求常系数非齐次线性微分方程解：例4求解微分积分方程解：