中考数学里的牛吃草问题

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1、中考数学里的牛吃草问题张景强所谓牛吃草问题,源于世界著名科学家牛顿所著《普通算术》中的一个题目。题目一个牧场,12头牛4周吃草格尔,21头牛9周吃草10格尔。问:24格尔牧草,多少头牛18周吃完?(格尔��牧场的面积单位)该问题涉及牛的头数、牧草的面积、牛吃草的时间。同时,牛天天在吃草,而草则天天在生长,这是一种动态现象。其中隐含着每头牛每周吃草量相等,每格尔牧场每周生长的牧草量也相等,且牛吃草总量不会超过该牧场原有的草量及每天新生长的草量的和。因此,解决这类问题通常是建立方程(组)模型。解析:设每头牛每周吃草量为,每格尔草地每周生长草量为,每格尔

2、草地原有草量为,又设24格尔牧草头牛18周吃完,依题意得消去,解得这类牛吃草的问题,在近两年中考试题里频频出现,现举两例,供同学们复习时参考。例1.(2003年湖南郴州市)某校食堂在开晚餐前,有名学生在食堂排队等候买晚餐,开始卖晚餐后,仍有学生前来排队买晚餐,设学生前来排队买晚餐的人数按固定的速度增加,食堂每个窗口卖晚餐的速度也是固定的。若开放一个窗口,则需要40分钟才可使排队等候的学生全部买到晚餐;若同时开放两个窗口,则需要15分钟就可使排队等候的学生全部买到晚餐。(1)写出开放一个窗口时,开始卖晚餐后窗口卖晚餐的速度(人/分钟)与每分钟新增加的学生人数(人

3、)之间的关系:(2)食堂为了提高服务质量,减少学生排队的时间,计划在8分钟内让排队等候的学生全部买到晚餐,以使后到的学生能随到随买,至少要同时开放几个窗口?解析:(1)依题意,得所以,(2)设至少要同时开放个窗口,则有解得因为为大于3的最小正整数,所以即至少要同时开放4个窗口。例2.(2003年江苏连云港市)某水库共有6个相同的泻洪闸,在无上游洪水注入的情况下,打开一个水闸泻洪使水库水位以米/小时匀速下降。某汛期上游洪水在未开泻洪闸的情况下使水库水位以米/小时匀速上升,当水库水位超过警戒线米时开始泻洪。(1)如果打开个水闸泻洪小时,写出表示此时相对于警戒线的水

4、面高度的代数式;(2)经考察测算,如果只打开一个泻洪闸,则需30小时水位才能降至警戒线;如果同时打开两个泻洪闸,则需10小时水位才能降至警戒线。问:该水库能否在3小时内使水位降至警戒线?解析:(1)表示此时相对于警戒线的水面高度的代数式为(2)由题意,得解这个方程组,可得。若6个泻洪闸同时打开,3小时后相对于警戒线的水面高度为因为所以所以,该水库能在3小时内使水位降至警戒线。

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