数学模型 “牛吃草”问题

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1、数学模型“牛吃草”问题姓名__________1.(第8届希望杯)有一片牧场,草每天都匀速地生长(草每天增长量相等).如果放牧24头牛,则6天吃完牧草;如果放牧21头牛,则8天吃完牧草.假设每头牛吃草的量是相等的.问:(1)如果放牧16头牛,几天可以吃完牧草?(2)要使牧草永远吃不完,最多放牧几头牛?解：（1）设牧场原有草量为a，草每天增长量为b，每头牛每天的吃草量为c,又设放牧16头牛,x天可以吃完牧草则解得（2）设放牧y头牛则＞0，＞0即＞0，∵k是无穷大的正数，趋于0，∴y=122.(1999年江苏)山脚下有一池塘,山泉以固定的流量(即单位时

2、间里流入池中的水量相同)不停地向池塘内流淌,现池塘中有一定深度的水,若用1台A型抽水机,则1小时后正好能把池塘中的水抽完;若用2台A型抽水机,则20分钟正好能把池塘中的水抽完.问:若用3台抽水机同时抽,则需要多长时间恰好把池塘中的水抽完?解：设池塘原有水量为a，每分钟出水量为b，每台抽水机每分钟抽水量为c，再设若用3台抽水机同时抽,则需要x分钟恰好把池塘中的水抽完。则解得答：若用3台抽水机同时抽,则需要12分钟恰好把池塘中的水抽完。3.(1999年全国竞赛)江堤边一洼地发生了管涌,江水不断地涌出,假定每分钟涌出的水量相等,如果用2台抽水机抽水,40

3、分钟可抽完;如果用4台抽水机抽水,16分钟可抽完;如果要在10分钟内抽完水,那么至少需要抽水机___台.解：设原有水量为a，每分钟出水量为b，每台抽水机每分钟抽水量为c，再设要在10分钟内抽完水，需要x台抽水机。则解得从而x≥64.(2001年广州)在车站开始检票时,有a（a＞0）名旅客在候车室等候进站.设旅客按固定的速度增加,检票口检票的速度也是固定的.若开放一个检票口,则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;若开放两个检票口,则需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕,以使后来到

4、站的旅客能随到随检,至少要同时开放几个检票口?解：设每分钟进站等待检票的旅客为b人，每个检票口每分钟检票c人，又设要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕,以使后来到站的旅客能随到随检,要同时开放x个检票口。则解得答：至少同时开放4个检票口。5.(1999年绍兴)某水库的水位已超过警戒线,上游河水仍以每秒a立方米的流量流入水库,为了防洪,需打开放水闸.假设每个闸门均以每秒(-3)立方米的流量放水.经测算,若打开一个闸门,15小时可将水位降至警戒线;若打开两个闸门,5小时可将水位降至警戒线.求a的值.解：设水库已超过警戒线的水量为x，依题意得消去

5、x，得解得（舍去）6.(1997年荆州)某厂设计一种桶式净水器,装有一个进水管和三个相同的出水管,当桶内已有一定量的水后,若同时打开进水管和一个出水管,可供净水20分钟;若同时打开进水管和两个出水管,可供净水8分钟.问:若同时打开进水管和三个出水管,可供净水多少分钟?解：设桶内原有水量为a，进水管每分钟进水量为b，一个出水管每分钟出水量为c，又设同时打开进水管和三个出水管,可供净水x分钟则解得答：同时打开进水管和三个出水管,可供净水5分钟.7.（2006年内蒙古乌兰察布）某电信局现有600部已申请装机的电话尚待装机，此外每天还有新申请装机的电话也待

6、装机。假设每天申请装机的电话部数相同，每个电话装机小组每天安装电话的部数也相同。若安排3个装机小组去安装电话，则刚好30天可将待装电话装机完毕；若安排5个装机小组去安装电话，则刚好10天可将待装电话装机完毕。（1）求每天新申请装机的电话部数及每个电话装机小组每天安装电话的部数；（2）如果要在5天内将待装电话装机完毕，那么电信局至少需安排几个电话装机小组同时装机？解：（1）设每天新申请装机的电话为a部，每个装机小组每天装机b部则解得（2）设要在5天内将待装电话装机完毕，需安排x个电话装机小组同时装机则600+5×40≤5×20x解得x≥8答：要在5天

7、内将待装电话装机完毕，需安排8个电话装机小组同时装机.8．（第8届“希望杯”初一2试）有一满池水，池底有泉总能均匀地向外涌流，已知用24部A型抽水机6天可抽干池水，若用21部A型抽水机8天也可抽干池水，设每部抽水机单位时间的抽水量相同，要使这一池水永抽不干，则至多只能用______部A型抽水机抽水．解：设每部抽水机每天抽水量为x，泉水每天的涌流量为y，由题意列方程：②－①得到24x＝2y,y＝12x因此，至多只能用12部抽水机抽水．