数学模型 “牛吃草”问题

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1、数学模型“牛吃草”问题姓名__________1.(第8届希望杯)有一片牧场,草每天都匀速地生长(草每天增长量相等).如果放牧24头牛,则6天吃完牧草;如果放牧21头牛,则8天吃完牧草.假设每头牛吃草的量是相等的.问:(1)如果放牧16头牛,几天可以吃完牧草?(2)要使牧草永远吃不完,最多放牧几头牛?解：（1）设牧场原有草量为a，草每天增长量为b，每头牛每天的吃草量为c,又设放牧16头牛,x天可以吃完牧草则解得（2）设放牧y头牛则＞0，＞0即＞0，∵k是无穷大的正数，趋于0，∴y=122.(1999年江苏)山脚下有一池塘,山泉以固定的流量(即单位时间里流入池中的水量相同)不停地向池塘内流淌,现

2、池塘中有一定深度的水,若用1台A型抽水机,则1小时后正好能把池塘中的水抽完;若用2台A型抽水机,则20分钟正好能把池塘中的水抽完.问:若用3台抽水机同时抽,则需要多长时间恰好把池塘中的水抽完?解：设池塘原有水量为a，每分钟出水量为b，每台抽水机每分钟抽水量为c，再设若用3台抽水机同时抽,则需要x分钟恰好把池塘中的水抽完。则解得答：若用3台抽水机同时抽,则需要12分钟恰好把池塘中的水抽完。3.(1999年全国竞赛)江堤边一洼地发生了管涌,江水不断地涌出,假定每分钟涌出的水量相等,如果用2台抽水机抽水,40分钟可抽完;如果用4台抽水机抽水,16分钟可抽完;如果要在10分钟内抽完水,那么至少需要抽水

3、机___台.解：设原有水量为a，每分钟出水量为b，每台抽水机每分钟抽水量为c，再设要在10分钟内抽完水，需要x台抽水机。则解得从而x≥64.(2001年广州)在车站开始检票时,有a（a＞0）名旅客在候车室等候进站.设旅客按固定的速度增加,检票口检票的速度也是固定的.若开放一个检票口,则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;若开放两个检票口,则需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕,以使后来到站的旅客能随到随检,至少要同时开放几个检票口?解：设每分钟进站等待检票的旅客为b人，每个检票口每分钟检票c人，又设要在5分钟内将排队等候检

4、票的旅客全部检票完毕,以使后来到站的旅客能随到随检,要同时开放x个检票口。则解得答：至少同时开放4个检票口。5.(1999年绍兴)某水库的水位已超过警戒线,上游河水仍以每秒a立方米的流量流入水库,为了防洪,需打开放水闸.假设每个闸门均以每秒(-3)立方米的流量放水.经测算,若打开一个闸门,15小时可将水位降至警戒线;若打开两个闸门,5小时可将水位降至警戒线.求a的值.解：设水库已超过警戒线的水量为x，依题意得消去x，得解得（舍去）6.(1997年荆州)某厂设计一种桶式净水器,装有一个进水管和三个相同的出水管,当桶内已有一定量的水后,若同时打开进水管和一个出水管,可供净水20分钟;若同时打开进水

5、管和两个出水管,可供净水8分钟.问:若同时打开进水管和三个出水管,可供净水多少分钟?解：设桶内原有水量为a，进水管每分钟进水量为b，一个出水管每分钟出水量为c，又设同时打开进水管和三个出水管,可供净水x分钟则解得答：同时打开进水管和三个出水管,可供净水5分钟.7.（2006年内蒙古乌兰察布）某电信局现有600部已申请装机的电话尚待装机，此外每天还有新申请装机的电话也待装机。假设每天申请装机的电话部数相同，每个电话装机小组每天安装电话的部数也相同。若安排3个装机小组去安装电话，则刚好30天可将待装电话装机完毕；若安排5个装机小组去安装电话，则刚好10天可将待装电话装机完毕。（1）求每天新申请装机

6、的电话部数及每个电话装机小组每天安装电话的部数；（2）如果要在5天内将待装电话装机完毕，那么电信局至少需安排几个电话装机小组同时装机？解：（1）设每天新申请装机的电话为a部，每个装机小组每天装机b部则解得（2）设要在5天内将待装电话装机完毕，需安排x个电话装机小组同时装机则600+5×40≤5×20x解得x≥8答：要在5天内将待装电话装机完毕，需安排8个电话装机小组同时装机.8．（第8届“希望杯”初一2试）有一满池水，池底有泉总能均匀地向外涌流，已知用24部A型抽水机6天可抽干池水，若用21部A型抽水机8天也可抽干池水，设每部抽水机单位时间的抽水量相同，要使这一池水永抽不干，则至多只能用___

7、___部A型抽水机抽水．解：设每部抽水机每天抽水量为x，泉水每天的涌流量为y，由题意列方程：②－①得到24x＝2y,y＝12x因此，至多只能用12部抽水机抽水．