高中数学必修1集合与函数概念常考题型：函数的概念

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1、函数的概念【知识梳理】1．函数的有关概念函数的概念设A，B是非空数集，如果按照某种对应关系f，使对于集合A中任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数函数的记法y＝f(x)，x∈A定义域x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域值域函数值的集合{f(x)

2、x∈A}叫做函数的值域2．区间的概念及表示定义名称符号数轴表示{x

3、a≤x≤b}闭区间[a，b]{x

4、a

5、a≤x

6、a

7、x≥a}半开半闭区间[a，＋∞){x

8、x>a}开区间(a，＋∞

9、){x

10、x≤a}半开半闭区间(－∞，a]{x

11、x

12、0≤x≤2}，N＝{y

13、0≤y≤2}，给出下列四个图形：其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是(　　)A．0　　　　　　　B．1C．2D．3(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数？为什么？①f：把x对应到3x＋1；　②g：把x对应到

14、x

15、＋1；③h：把x对应到；　④r：把x对应到.(1)[解析]　①中，因为在集合M中当1

16、之对应，所以②是；③中，x＝2对应元素y＝3N，所以③不是；④中，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以④不是．因此只有②是，故选B.[答案]　B(2)[解]　①是实数集R上的一个函数．它的对应关系f是：把x乘3再加1，对于任一x∈R,3x＋1都有唯一确定的值与之对应，如x＝－1，则3x＋1＝－2与之对应．同理，②也是实数集R上的一个函数．③不是实数集R上的函数．因为当x＝0时，的值不存在．④不是实数集R上的函数．因为当x<0时，的值不存在．【类题通法】1．判断所给对应是否为函数的方法(1)首先观察两个数集A，B是否非空；(2)其次验证对应关系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性，

17、即不能没有数y对应数x，也不能有多于一个的数y对应x.2．根据图形判断对应是否为函数的方法步骤(1)任取一条垂直于x轴的直线l；(2)在定义域内平行移动直线l；(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．【对点训练】下列对应或关系式中是A到B的函数的是(　　)A．A∈R，B∈R，x2＋y2＝1B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：C．A＝R，B＝R，f：x→y＝D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝解析：选B　A错误，x2＋y2＝1可化为y＝±，显然对任意x∈A，y值不唯一．B正确，符合函数的定义．C错误，2∈A，在B中

18、找不到与之相对应的数．D错误，－1∈A，在B中找不到与之相对应的数.题型二、求函数的定义域【例2】　求下列函数的定义域：(1)y＝－；(2)y＝.[解]　(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x≤1且x≠－1，即函数定义域为{x

19、x≤1，且x≠－1}．(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x≤5且x≠±3，即函数定义域为{x

20、x≤5，且x≠±3}．【类题通法】求函数的定义域应关注四点(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.(2)不对解析式化简变形，以免定义域变化．(3)当一个

21、函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．【对点训练】求下列函数的定义域：(1)y＝2＋；(2)y＝·；(3)y＝(x－1)0＋.解：(1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数y＝2＋有意义，所以这个函数的定义域为{x

22、x≠2}．(2)函数有意义，当且仅当解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x

23、1≤x≤3}．(3)函数有意义，当且仅当解得x>－1，且x≠1，所以这个函数的定义域为{x

24、x>－1，且x≠1}.题型三、求函数值和

25、值域【例3】　已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．(1)求f(2)、g(2)的值；(2)求f[g(2)]的值；(1)求f(x)、g(x)的值域；[解]　(1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝；又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.(2)f[g(2)]＝f(6)＝＝.(3)f(x)＝的定义域为{x

26、x≠－1}，∴值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．g(x)＝x2＋2的定义域