高中数学必修1集合与函数概念常考题型：函数的单调性

《高中数学必修1集合与函数概念常考题型：函数的单调性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、函数的单调性【知识梳理】1．定义域为I的函数f(x)的增减性2．单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．【常考题型】题型一、由函数图象说明函数的单调性【例1】　(1)函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是(　　)A．[－4,4]B．[－4，－3]∪[1,4]C．[－3,1]D．[－3,4](2)画出函数y＝－x2＋2

2、x

3、＋1的图象并写出函数的单调区间．(1)[解析]　根据函数单调性定义及函数图象知f(x)在[－3,1]上单调递增．[答案]　C(2)[解]　y＝，即y＝，

4、函数图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为[－1,0]，[1，＋∞]．【类题通法】由图象确定函数单调性的方法及注意事项(1)图象从左向右上升，叫函数递增；图象从左向右下降，则函数递减．(2)单调区间必须是函数定义域的子集，单调区间之间不能用“∪”，而应用“，”将它们隔开或用“和”字连接．【对点训练】求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝3

5、x

6、；(2)f(x)＝

7、x2＋2x－3

8、.解：(1)f(x)＝3

9、x

10、＝图象如图所示．f(x)的单调递减区间为(－∞，0]，单调递增区间为[0，＋∞)．(2)令g(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.先作出g(x)的图象，

11、保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方就得到f(x)＝

12、x2＋2x－3

13、的图象，如图所示．由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1,1].题型二、函数单调性的证明【例2】　求证：函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．[证明]　对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x10，x1＋x2<0，xx>0.∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

14、∈(0，＋∞)，且x10，x2＋x1>0，xx>0.∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．∴函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．【类题通法】利用定义证明函数单调性的步骤【对点训练】利用单调性的定义，证明函数y＝在(－1，＋∞)上是减函数．证明：设x1，x2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数且x10，x1＋1>0，x2＋1>0.∴>0.即f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)．∴y＝在(－1，＋∞)上是减函数.题型三、

15、由函数的单调性求参数的取值范围【例3】　(1)已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)2a－1.即a<.　②由①②可知，0

16、)上分别单调，因此要使函数f(x)在区间[1,2]上单调，只需a≤1或a≥2(其中当a≤1时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递增；当a≥2时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递减)，从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．　【类题通法】“函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的区别单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．【对点训练】若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是(　

17、　)A．(－1,0)∪(0,1)　　　　　B．(－1,0)∩(0,1)C．(0,1)D．(0,1]解析：选D　因为g(x)＝在区间[1,2]上是减函数，所以a>0.因为函数f(x)＝－x2＋2ax的图象开口向下，对称轴为直线x＝a，且函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，所以a≤1.故满足题意的a的取值范围是(0,1]．【练习反馈】1．下列函数中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有>0”的是(　　)A．f(x)