高中数学必修1集合与函数概念常考题型：分段函数与映射

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1、分段函数与映射【知识梳理】1．分段函数的定义如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在不同的取值范围内，函数有着不同的对应关系，称这样的函数为分段函数．2．映射的定义设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．【常考题型】题型一、分段函数求值问题【例1】　已知函数f(x)＝(1)求f(－5)，f(－)，f的值；(2)若f(a)＝3，求实数a的值．[解]　(1)由－5∈(－∞，－2]，

2、－∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(－)＝(－)2＋2(－)＝3－2.∵f＝－＋1＝－，且－2<－<2，∴f＝f＝2＋2×＝－3＝－.(2)当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2>－2，不合题意，舍去．当－2

3、的方法先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．当出现f[f(a)]的形式时，应从内到外依次求值，直到求出值为止．2．求某条件下自变量的值的方法先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．【对点训练】已知函数f(n)＝求：f(3)，f(4)，f[f(4)]的值．解：由题意可知f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)＝f(2)＋f(1)＝2＋1＝3.f(4)＝f(3)＋f(2)＝3＋2＝5.f[f(4)]＝f(5)＝f(4)＋f(3)＝5＋3＝8.题型二、分段函

4、数的图象及应用【例2】　(1)如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为________，值域为________．(2)已知函数f(x)＝1＋(－2

5、)＝1＋＝1－x.∴f(x)＝.②函数f(x)的图象如图所示，③.由②知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．【类题通法】分段函数图象的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．【对点训练】已知函数y＝f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数

6、的解析式．解：题图中给定的图象实际上是一个分段函数的图象，对各段对应的函数解析式进行求解时，一定要注意其区间的端点．根据图象，设左侧的射线对应的函数解析式为y＝kx＋b(x<1)．∵点(1,1)，(0,2)在射线上，∴解得∴左侧射线对应的函数的解析式为y＝－x＋2(x<1)．同理，x>3时，函数的解析式为y＝x－2(x>3)．再设抛物线对应的二次函数解析式为y＝a(x－2)2＋2(1≤x≤3，a<0)．∵点(1,1)在抛物线上，∴a＋2＝1，a＝－1.∴1≤x≤3时，函数的解析式为y＝－x2＋4x－2(1≤x≤3)．综

7、上可知，函数的解析式为y＝题型三、映射的概念【例3】　判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射：(1)A＝N*，B＝N*，对应关系f：x→

8、x－3

9、；(2)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关系f：作圆的内接矩形；(3)A＝{高一(1)班的男生}，B＝R，对应关系f：每个男生对应自己的身高；(4)A＝{x

10、0≤x≤2}，B＝{y

11、0≤y≤6}，对应关系f：x→y＝x.[解]　(1)A中元素3在对应关系f的作用下与3的差的绝对值为0，而0B，故不是映射．(2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个元素

12、在集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射．(3)对A中任何一个元素，按照对应关系f，在B中都有唯一的元素与之对应，符合映射定义，是映射．(4)是映射，因为A中每一个元素在f：x→y＝x作用下对应的元素构成的集合C＝{y

13、0≤y≤1}B，符合映射定义．【类题通法】判断一个对应是否为映射的两个关键点(1)对于A中的任意一个元素，在B