高中数学必修1集合与函数概念常考题型：函数的奇偶性

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1、奇偶性【知识梳理】奇偶性偶函数奇函数定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数定义域关于原点对称图象特征【常考题型】题型一、判断函数的奇偶性【例1】　判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x＋1；(2)f(x)＝x3＋3x，x∈[－4,4)；(3)f(x)＝

2、x－2

3、－

4、x＋2

5、；(4)f(x)＝[解]　(1)函数f(x)＝x＋

6、1的定义域为实数集R，关于原点对称．因为f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)，即f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)，所以函数f(x)＝x＋1既不是奇函数又不是偶函数．(2)因为函数的定义域不关于原点对称，即存在－4∈[－4,4)，而4[－4,4)，所以函数f(x)＝x3＋3x，x∈[－4,4)既不是奇函数又不是偶函数．(3)函数f(x)＝

7、x－2

8、－

9、x＋2

10、的定义域为实数集R，关于原点对称．因为f(－x)＝

11、－x－2

12、－

13、－x＋2

14、＝

15、x＋2

16、－

17、x－2

18、＝－(

19、

20、x－2

21、－

22、x＋2

23、)＝－f(x)，所以函数f(x)＝

24、x－2

25、－

26、x＋2

27、是奇函数．(4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0，f(－x)＝－(－x)2－1＝－(x2＋1)＝－f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝－(－x2－1)＝－f(x)．综上可知，函数f(x)＝是奇函数．【类题通法】判断函数奇偶性的方法(1)定义法：根据函数奇偶性的定义进行判断．步骤如下：①判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称．若不对称，则函数f

28、(x)为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步．②验证．f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)．③下结论．若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，则f(x)为非奇非偶函数．(2)图象法：f(x)是奇(偶)函数的充要条件是f(x)的图象关于原点(y轴)对称．(3)性质法：①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；②奇函数的和、差仍为奇函数；③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)

29、函数；④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．【对点训练】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝

30、x－2

31、＋

32、x＋2

33、；(2)f(x)＝解：(1)函数f(x)＝

34、x－2

35、＋

36、x＋2

37、的定义域为R.因为对于任意的x∈R，都有f(－x)＝

38、－x－2

39、＋

40、－x＋2

41、＝

42、x＋2

43、＋

44、x－2

45、＝f(x)，所以函数f(x)＝

46、x－2

47、＋

48、x＋2

49、是偶函数．(2)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0，则f(－x)＝－＝＝f(x)；当x<0时，－x>0，则f(－x)＝＝－＝f

50、(x)．综上可知，函数f(x)＝是偶函数.题型二、利用函数奇偶性的定义求参数【例2】　(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；(2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________.　[解析](1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝.又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.(2)由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0，得a(－x)

51、2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0.[答案]　(1)　0　(2)0【类题通法】由函数的奇偶性求参数应关注两点(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用．(2)利用常见函数如一次函数、反比例函数、二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数．【对点训练】已知函数f(x)＝是奇函数，则a＝________.　解析：当x<0时，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋(－x)＝－x2－x.又f(x)为奇函数，∴f

52、(x)＝－f(－x)＝x2＋x，即ax2＋x＝x2＋x，∴a＝1.答案：1题型三、利用函数的奇偶性求解析式【例3】　f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求f(x)的解析式．[解]　当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝2x2＋3x－1.即当x<0时，f(x)＝2x2＋3x－1.因为f(x)为R上的奇函数，故f(0)＝0.综上可得f(x)的解析