勾股定理的实际应用

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1、生活中的勾股定理数学源于实际，数学的发展主要依赖于生产实践，从数学应用的角度来处理数学，阐释数学，呈现数学，使学生了解到数学是有用的，数学就在我们身边．利用勾股定理可以解决实际生活中的许多问题．下面举例分析如下：一．D图2CBA地基挖的合格吗?例1如图2，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB=DC=8m,ADF=BC=6Mac=9M，请你帮他看一下挖的是否合格？分析：本题是数学问题在生活中的实际应用，所以我们要把实际问题转化成数学问题来解决，运用直角三角

2、形的判别条件，来验证它是否为直角三角形．∵∴,所以△ADC不是直角三角形，∴而标准为长方形，所以四个角应为直角．所以该农民挖的不合格．评注：勾股定理的逆定理，在解决实际问题中、有着广泛的应用，可以用它来判定直角，家里建房时，常需要在现场画出直角，在没有测量角的一起的情况下，工人是如常利用勾股定理的逆定理得到直角．二．木棒能放进木箱吗?例1有一根70cm长的木棒，要放在长、宽、高分别是50cm，30cm，40cm的木箱中，能放进去吗？分析：由于木棒长为70cm，远大于各面的边长，而且比每个面的对角

3、线还要长，故按各面的大小都放不进去，但要注意木箱的形状是立体图形，可以利用空间的最大长度．图4DCBA解：能放进去．如图4，连接,在Rt△中,．在Rt△中,,∵5000＞,∴(cm)-4-∴70cm长的木棒，能放进这只木箱中．评注：解决此题的关键在于明确即为木箱所能容纳的最大长度，这里充分利用了木箱各邻边的垂直关系，创造了连续运用勾股定理的条件，同时还能培养学生的空间想象力．勾股定理的实际应用　　勾股定理是数学中的重要定理．它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，把数与形统一起来．利用勾股定理可以

4、解决实际生活中的许多问题．下面举例分析如下．一、计划修筑的公路会不会穿过公园例1　如图1,某市为方便相距2km的A、B两处居民区的交往，修筑一条笔直的公路（即图中的线段AB），经测量，在A处的北偏东60°方向、B处北偏西45°方向的C处有一半径为0.7km的圆形公园，问计划修筑的公路会不会穿过公园？为什么？分析：关键是求点C到AB的距离CD，即CD的长是否大于0.7，大于0.7则不会穿过公园，小于0.7则会穿过公园．　　解：过C作CD⊥AB于D，则∠CAB=30°，∠CBA=45°．　　在Rt△

5、CDB中，∠CBA=45°，所以BD=CD．　　在Rt△CDA中，∠CAB=30°，所以AC=2CD．　　设CD=DB=x，则AC=2x．　　由勾股定理得AD=x．　　因为AD+DB=2，所以．-4-　　所以．　　所以计划修筑的这条公路不会穿过公园．二、铺地毯需要花多少元例2　如图2，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米？若楼梯宽2米，每平方米地毯需30元，那么这块地毯需要花多少元？分析：从表面看，每个台阶水平和竖直的长度都求不出来，但仔细观察发现，楼梯水平方向的

6、长度和为AC，竖直方向的长度和为BC，要求地毯的长度，只需利用勾股定理先求出AC，再求AC+BC即可．解：在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，　所以AC2=AB2-BC2=52-32=25-9=16．　　所以AC=4（米）．　　所以地毯长度为AC+BC=4+3=7（米）．所以地毯总面积为7×2=14（平方米）．　　所以需花30×14=420（元）．　　说明：本题是一道生活中的实际问题，解决此问题的关键是从实际问题中构建数学模型———直角三角形，借助勾股定理求出AC的长．三、B点与入射点的距

7、离是多少例3　如图3，两点A，B都与平面镜相距4米，且A，B两点相距6米，一束光由A点射向平面镜，反射之后恰好经过B点，求B点与入射点间的距离．分析：此题的关键是找出入射点O，利用光的反射知识及轴对称知识，可找到入射点O，再运用勾股定理进行求解．解：作出B点关于CD的对称点B′，　　连接AB′，交CD于点O，则O点就是光的入射点．-4-　　连接OB．因为AC=BD，∠ACO=∠BDO=90°，∠AOC=∠BOD．　　所以△AOC≌△BOD．　　所以OC=OD=AB=3米．　　在Rt△ODB中，O

8、D2＋BD2＝OB2，　　所以OB2＝32＋42＝25．　　所以OB=5（米）．　　说明：勾股定理在日常生活中应用广泛，涉及许多知识，必须融会贯通，灵活运用．四、两船相距多远例4　一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，则一个半小时后两船相距多远?　　分析：根据题意画出图形，得到两轮船航线的夹角为90°，分别求出两船航行1.5小时的路程，再根据勾股定理求出两船相距的距离．解：如图4，东南方向即南偏东45°，西南方向即南偏西45°