不定积分的换元积分法

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1、第四节不定积分的换元积分法不定积分时若凑微分法、分部法均解决不了问题，且被积函数中含有复杂的量（如：、、等），则可以考虑使用换元积分法.一、换元积分法例6．4．1求不定积分.解这里主要障碍是“”，不妨令此时这样把复杂的量“”换元成最简单的变量“”则.例6．4．2求不定积分.解同样令主要障碍，此时则.例6．4．3求不定积分.解令，此时，则.例6．4．4求不定积分.解令，此时，则.从以上例题可见，换元可使复杂积分变得简单，可关键是怎么换.二、换元积分举例例6．4．5用换元法求下列不定积分：（1）；（2）；（3）；（4）；

2、（5）；（6）.解（1）==；（2）=；（3）=；（4）=；（5）=；（6）.可见前边例子中直接令“”或其它复杂的量“”也就行了.可若“”下含有“”项，问题就不是那么简单了.例6．4．6利用三角公式（）换元，求积分.解.例6．4．7利用三角公式（）换元，求积分.解.例6．4．8利用三角公式（）换元，求积分.解.例6．4．9求下列不定积分：（1）；（2）；（3）.解（1）=；（2）查《积分表》（见文献文献×）=；（3）；此题还可以用另一个很简单的解法：；可见换元积分法不是一个很好的方法，凑微分法、分部法均解决不了，再考

3、虑用它.思考题6.41．本节介绍的换元积分法中，换元的根本目的是什么？应注意什么问题？2．总结一下利用三角公式换元积分法（三角代换法）的三种类型.3．思考凑微分法、分部法及换元法三种积分方法的优先次序，如何选用？练习题6.41.用换元法求下列不定积分：（1）；（2）；（3）.2.利用三角代换求下列不定积分：（1）；（2）；（3）．练习题6.4答案1.解（1）=；（2）==；（3）=.2.解（1）=；（2）；（3）．